phong? doan' erdos : 4/n = 1/x + 1/y + 1/z . Trong do x ; y ;z khac nkau ; n >=4 va nguyen duong thi pt ckac ckan co nghiem nguyen duong .
Ta se di jai? pt tren . Ta thay pt tren tuong duong vs pt : 1/n = 1/ 4x + 1/4y + 1/4z
de don jan? cm va x ;y ; z co vai tro giong nkau trong pt ta gia su : x < y . Cung de dang thay
n < 4x < 4y . That vay dat 4x - d = n ; 4y - e = n ;trong do' e > d vi y > x ( e > d > 0 )
Tu do suy ra x = ( n + d )/4 ; y = ( e + n)/4
Thay vao` pt ta tinh' dc 1/4z = ( de - n^2) / n(n + d )(n+e) . Nen ta co' z = n(n+d)(n + e) / 4(de - n^2)
tiep theo ta se xet cac TH de x ; y la so nguyen ; do n >=4 nen ta dat n = 4a + b ( b >=0)
Nen b la so du trong phep chia n cho 4 ; de n + d chia het cho 4 thi b + d chia het cho 4 ; va tuong tu vs y thi b + e chia het cho 4 (1)
1 lan nua ta lai goi so du trong phep chia d ; e cho 4 lan luot la r va` m (2)
Tu (1); (2) ta can co' b + r chia het cko 4 ; b + m chia het cko 4
hay b = -r = -m ( mod 4) ( o day = la ki hieu dong du )
Vay pt co vo so nghiem nguyen vs x = ( n+ d ) / 4
y = ( n + e )/4
z =n( n+d ) ( n+ e ) / 4 ( de - n^2)
Trong do' ta co de > n^2 de z nguyen duong
b = - r = -m ( mod 4) de x ;y nguyen duong
va` n ( n+ d ) ( n +e ) chia het cko 4 ( de - n^2)
Thi` pt chac chan co nghiem nguyen duong ; ai co y' kien dong gop j gui ve bang1412@gmail.com
Hoac cmt o day