Chứng minh không gian banach
 

Mình muốn chứng minh $C_{0}=\left \{ x=\left ( \xi _{k} \right ):\lim\xi _{k}=0 \right \} $ là không gian banach với chuẩn.
$\left \| x \right \|=\sup\left | \xi _{k} \right | $
Mình làm như sau:
Lấy dãy $\left ( x^{n} \right ) $ là dãy cauchy trong $C_{0} $ với $(x^{n})=(\xi_{k}^{n}) $.
ta có: $\exists \varepsilon >0,\forall m,n>n_{0} $
$\left \| x^m-x^n \right \|<\varepsilon $
$\Leftrightarrow \sup\left | \xi _{k}^{m}-\xi _{k}^n \right |<\varepsilon $
$\Leftrightarrow \left | \xi _{k}^{m}-\xi _{k}^n \right |<\varepsilon $
$\Rightarrow \left \{ \xi _k^n \right \} $ là dãy cauchy trong $\mathbb{R} $ nên nó hội tụ tới $x_{k}^{0}=\left \{ \xi _k^0 \right \} $
Chứng minh ${x_k^0} $ thuộc $C_0 $
do $\left \| x^m-x^n \right \|<\varepsilon $ cho $n \to \infty $ ta được
$\left | x_k^m-x_k^0 \right |<\varepsilon
\Rightarrow lim\left | x_k^0 \right |=lim\left | x_m^0 \right |+\varepsilon $
$\Rightarrow lim\left | x_k^0 \right |=0\Rightarrow x_k^0\in C_0 $
các bạn xem hộ mình xem mình làm thế có được điểm nào không?