Diễn Đàn MathScope

Diễn Đàn MathScope (http://forum.mathscope.org/index.php)
-   Đề Thi HSG Cấp Tỉnh ở Việt Nam (http://forum.mathscope.org/forumdisplay.php?f=149)
-   -   Đề thi các trường chuyên và các tỉnh năm học 2019-2020-Lời giải và bình luận (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=52218)

MATHSCOPE 16-09-2019 11:38 PM

Đề thi các trường chuyên và các tỉnh năm học 2019-2020-Lời giải và bình luận
 
Thời điểm này, nhiều tỉnh và các trường chuyên đã và đang hoàn tất việc thi chọn đội tuyển học sinh giỏi tham dự VMO. Tiếp nối truyền thống nhiều năm trước, trang [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] kết hợp với phong trào BM2E lại mở chuyên mục này. Công việc này, không có mục đích nào lớn hơn là để các thầy cô và các bạn học sinh có một nguồn tư liệu tham khảo hữu ích.

Các bài toán sẽ được chia ra làm các thể loại như sau:
  1. Các bài toán Đại Số.
  2. Các bài toán Số Học.
  3. Các bài toán Hình Học.
  4. Các bài toán Giải Tích.
  5. Các bài toán Rời Rạc.
Chúng tôi sẽ tập hợp các đề toán theo từng chủ đề, gửi lên đây và chúng ta có thể vào giải và bình luận. Có thể bình luận trực tiếp trong chủ đề này hoặc là gửi file đính kèm. Một số đề mà chúng tôi không chủ động sưu tập được, mong các thành viên đóng góp thêm.

Các bài toán và lời giải-bình luận, sẽ được chúng tôi tổng hợp lại thành 1 file pdf. Bây giờ xin bắt đầu bằng chủ đề Số Học.


Các bài toán Số Học


  1. [Lam Sơn-Thanh Hóa] Bắt đầu từ gốc tọa độ $O\left(0;\,0\right)$, người ta di chuyển một vật đến các điểm hữu tỷ. Sau mỗi lần di chuyển, vị trí mới cách vị trí trước đó đúng môt đơn vị.
    1. Chứng tỏ rằng, có thể di chuyển vật đến điểm $M\left( {\frac{1}{5};\,\frac{{16}}{13}} \right)$.
    2. Có thể di chuyển vật đến điểm $N\left( {\frac{1}{2019};\,\frac{{1}}{2020}} \right)$ được không? Tại sao?

  2. [Lam Sơn-Thanh Hóa] Tìm các số nguyên dương $n,\,k$ số nguyên tố Fermat $p$ sao cho\[p^n+n=(n+1)^k.\]
  3. [Bắc Giang] Tìm tất cả các số nguyên dương $m$ có tính chất: nếu $a$ và $b$ là các ước số nguyên dương của $m$ và $\gcd\left(a,\,b\right)=1$ thì $a+b-1$ cũng chia hết $m$.

  4. [Chuyên KHTN-Hà Nội] Tìm các số nguyên dương $a$ và $n$ sao cho $a^{n^2+2n-1}-99$ là một số chính phương.

  5. [Chuyên KHTN-Hà Nội] Cho dãy số $\left(a_n\right)_{n\in\mathbb N}$, cho bởi công thức truy hồi ${a_0} = 1,\:{a_1} = 6,\:{a_2} = 25$ và với số nguyên dương $n$ bất kỳ thì\[{a_{n + 3}} = 5{a_{n + 2}} - 5{a_{n + 1}} + {a_n}.\]Chứng minh rằng, nếu $2^{2019}\mid n$ thì $2^{4019}\mid a_n$.

  6. [Ninh Bình] Cho dãy số $\left(a_n\right)_{n\in\mathbb N^*}$, cho bởi công thức truy hồi ${a_1} = 2,\:{a_2} = 20,\:{a_3} = 56$ và với số nguyên dương $n$ bất kỳ thì\[{a_{n + 3}} = 7{a_{n + 2}} - 11{a_{n + 1}} + 5{a_n} - {3.2^n}.\]Tìm số dư khi đem $a_{2019}$ chia $2019$.

  7. [Cần Thơ]Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ, chứng minh rằng\[p\mid \left( {\left\lfloor {{{\left( {45 + \sqrt {2019} } \right)}^p}} \right\rfloor - 89} \right).\]
  8. [Lâm Đồng]Tìm các số nguyên dương $m$ và $n$ lớn hơn $2$, sao cho tồn tại vô số số nguyên dương $a$ thỏa mãn\[\left( {{a^n} + {a^2} - 1} \right)\mid \left( {{a^m} + a - 1} \right).\]
  9. [Bình Dương] Tồn tại hay không số nguyên dương $n$ để $2020^n$ viết được thành tổng lập phương của $2019$ số nguyên dương chẵn liên tiếp.

  10. [Bình Dương] Cho đa thức $P(x)=x^p+ax^2+bx+c$, trong đó $a,\,b,\,c$ là các số nguyên còn $p$ là một số nguyên tố. Biết rằng, $P(x)$ có ba nghiệm $x_1,\,x_2,\,x_3$ thỏa mãn $p\nmid \left(x_1-x_2\right)\left(x_2-x_3\right)\left(x_3-x_1\right)$. Chứng minh rằng $abc+ca$ chia hết cho $p^3$.

  11. [Đồng Tháp] Tìm các số nguyên dương $a$ và $b$ sao cho $a^4+10a^2+2^b$ là một số chính phương.

  12. [Bến Tre] Với mỗi số nguyên dương $n$, ký hiệu $F_n=2^{2^n}+1$.
    1. Chứng minh rằng $\gcd\left(F_m,\,F_k\right)=1$ nếu $k$ và $m$ là các số nguyên dương phân biệt.
    2. Tìm chữ số tận cùng khi viết trong hệ thập phân của \[M = \text{lcm}\left( F_1,\, F_2,\, \ldots ,\,F_{2019} \right).\]

  13. [Quảng Bình] Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ và $n=2^{2p}-1$. Chứng minh rằng, $n$ có ít nhất ba ước nguyên tố phân biệt và $$n\mid\left(2^n-8\right).$$
  14. [Khánh Hòa] Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, đều tồn tại duy nhất một cặp số nguyên dương $(a,\,b)$ sao cho \[n = a + \frac{{\left( {a + b - 1} \right)\left( {a + b - 2} \right)}}{2}.\]
  15. Phú Thọ. Tìm các số tự nhiên $k,\,m,\,n$ sao cho \[k^3=5^m+7^n.\]
  16. Nghệ An. Cho số nguyên dương $n$ và $S\,=\,\{1,2,3,...,n\}.$ Gọi $c_n$ là số các tập con của $S$ mà chứa đúng hai số nguyên dương liên tiếp. CMR:
    $$c_n\,=\,\frac{2nF_{n+1}-(n+1)F_n}{5}.$$
  17. Đại Học Vinh. Tìm bộ ba số nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa: $1\,+\,2^x\,=\,3^y\,+\,2.4^z.$
  18. Thanh Hóa. Cho $p$ là số nguyên tố sao cho $p\, \equiv \,1\,(\bmod \,4).$ Hãy tính $\sum\limits_{k = 1}^{p - 1} {([\frac{{2{k^2}}}{p}]\, - \,2[\frac{{{k^2}}}{p}])} \,$ trong đó $[a]$ kí hiệu số nguyên lớn nhất không vượt quá số thực $a.$
  19. Lào Cai. Cho số nguyên tố $p$ và các số nguyên dương $x,\,y$ thỏa:
    $x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+1\,=\,y^3\,-\,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
    $\,a.\,$ Gọi $q$ là một ước nguyên tố của $x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+1.$ CMR $q\,\equiv\,0\,(\bmod \,p)$ hoặc $q\,\equiv\,1\,(\bmod \,p).$
    $\,b.\,$ Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ để phương trình $(1)$ có nghiệm nguyên dương.
  20. Kiên Giang. Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(p,q)$ để $p^2\,+\,15pq\,+\,q^2$ là:
    $\,a.\,$ Một lũy thừa của $17.$
    $\,b.\,$ Một số chính phương.
  21. Phú Yên. Cho $p$ là số nguyên tố, $p\,=\,4k+1,\,k\,\in\,mathbb{N^*}.$ Hỏi có tồn tại hay không số tự nhiên $n$ mà $n^2\,+\,2^n$ chia hết cho $2p?$
  22. Tây Ninh.
    $\,a.\,$ Cho $p$ là số nguyên tố với $p\,\equiv \,5\,(\bmod\,8)$ và $x,y$ là các số nguyên sao cho $x^4\,+\,y^4$ chia hết cho $p.$ CMR $x $ và $y$ đều chia hết cho $p.$
    $\,b.\,$ Cho các số nguyên dương $a,b$ sao cho $15a+16b$ và $16a-15b$ đều là các số chính phương. Tìm giá trị nhỏ nhất của số nhỏ hơn trong hai số chính phương đó.
  23. Hải Phòng.
    $\,a.\,$ Tìm tất cả các số tự nhiên $a$ để $3a+1$ và $4a+1$ đều là các số chính phương.
    $\,a.\,$ CMR nếu số tự nhiên $a$ thỏa ý $a)$ ở trên thì $a(a-4)$ chia hết cho $13.$
  24. Tây Ninh. Số nguyên tố "tử tế " là số nguyên tố được viết dưới dạng $a^3\,-\,b^3,$ ở đây $a,b$ là các số nguyên dương. Tìm chữ số cuối của số nguyên tố "tử tế" này.
  25. Kon Tum. $\,a.\,$ Viết số $2019^{2020}$ thành tổng của $n$ số nguyên dương một cách tùy ý như sau:
    ${2019^{2020}}\, = \,\sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}} .$ Tìm số dư khi chia $ \sum\limits_{k = 1}^n {{{a_k}^7}}}$ cho $7.$
    $\,b.\,$ Đặt $a_n\,=\,2019^n\,+\,1$ với $n$ là số nguyên dương. Tìm các số nguyên tố $p$ thỏa $a_p$ chia hết cho $p.$
  26. Nghệ An. CMR tồn tại dãy nguyên dương $(a_k)$ sao cho: $\frac{{a_{k + 1}^2\, + \,7}}{{{2^{k + 1}}}}$ chia hết cho $\frac{{a_k^2\, + \,7}}{{{2^k}}}$ với mọi $k\,\geqslant\,3.$
  27. Đồng Nai. Tìm các số nguyên dương $a,\,b,\,n$ với $a,\,b$ là hai số nguyên tố, $n$ là số chẵn lớn hơn $2$ sao cho: $$a^n\,+\,a^{n-1}\,+...+a\,+\,1\,=\,b^2\,+\,b\,+1.$$
  28. Quảng Ngãi.
    $\,a.\,$Cho $n$ là số nguyên dương có ít nhất $6$ ước nguyên dương. Gỉa sử các ước nguyên dương của $n$ được sắp xếp theo thứ tự sau: $1\,=\,d_1\,<\,d_2\,<...<d_k\,=\,n$ với $k\,\geqslant\,6.$ Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho $n\,=\,{d_5}^2\,+\,{d_6}^2.$
    $\,b.\,$ Cho $p$ là số nguyên tố. CMR tồn tại các số nguyên $x,\,y,\,z,\,n$ với $0\,<n\,<\,p$ sao cho $x^2\,+\,y^2\,+\,z^2\,-\,np\,=\,0.$
  29. Quang Trung. Tìm tất cả các số nguyên tố $p,\,q$ sao cho: $11^p\,+\,17^p$ chia hết cho $3p^{q-1}\,+\,1.$
  30. Yên Bái. Với mỗi số nguyên $n\,\geqslant\,2,$ đặt $A_n\,=\,2^{2^n}\,+\,2^{2^{n-1}}\,+\,1.$ CMR với mọi số nguyên $n\,\geqslant\,2$ $A_n$ là hợp số và có ít nhất $n$ ước số nguyên tố phân biệt.
  31. Đắc Lắc. Cho trước $p$ là số nguyên tố lớn hơn $2.$ Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho $\sqrt{k^2\,-\,2pk}$ cũng là số nguyên dương.
  32. Vĩnh Long. CMR tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $2^n\,+\,1$ chia hết cho $n.$
  33. Bắc Ninh. Cho số nguyên tố $p.$ CMR tồn tại vô số số tự nhiên $n$ thỏa:
    $2020^{n+2019}\,\equiv \,n\,+\,2018\,(\bmod\,p).$
  34. Hải Dương. Tìm các bộ số nguyên dương $(a,p,n)$ với $p$ nguyên tố thỏa $a^p\,+\,1\,=\,(a\,+\,1)^n.$
  35. Chuyên Quang Trung. Cho số nguyên tố $p\,=\,3k\,+\,2,$ $k\,\in\,\mathbb{N}.$
    $\,a.\,$ CMR $a^3\,\equiv\,b^3\,(\bmod\,p)$ khi và chỉ khi $a\,\equiv\,b\,(\bmod\,p).$
    $\,b.\,$ Cho đa thức $P(x)\,=\,x^3\,+\,3x^2\,+\,3x\,+\,2.$ CMR tồn tại vô số số nguyên $n$ để $P(n)$ chia hết cho $p.$
  36. Chuyên Lê Hồng Phong. Tìm tất cả các số nguyên dương $n,\,x$ sao cho $4x^n\,+\,(x\,+\,1)^2$ là số chính phương.
  37. Chuyên Lê Hồng Phong. Tìm tất cả các số nguyên dương $a,b,m,n$ với $(m,\,n)\,=\,1$ thỏa:
    $(a^2\,+\,b^2)^m\,=\,(ab)^n.$
  38. Khánh Hòa. CMR với mỗi số nguyên dương $n,$ tồn tại duy nhất một cặp số nguyên dương $(a,\,b)$ sao cho $n\,=\,\frac{1}{2}(a\,+\,b\,-\,1)(a\,+\,b\,-\,2)\,+\,a.$
  39. Hà Nam. Cho $q$ là số nguyên tố lớn hơn $2$ và $Q\,=\,(2q)^{2q}\,+\,(2q)!\,+\,((2q)!)^{2q}.$ CMR $Q$ có một ước nguyên tố $p\,>\,2q.$
  40. Hà Nam. Với số nguyên tố $p$ ở câu trên, giả sử $p\,=\,x\,+\,y,$ trong đó $x,\,y$ nguyên dương. CMR tồn tại vô hạn bộ số nguyên dương $(x,\,y)$ sao cho $(x!)^y\,+\,(y!)^x\,+\,1$ chia hết cho $p.$



Sẽ update thường xuyên..

MATHSCOPE 17-09-2019 01:30 AM

Các bài toán Đại Số

  1. [Lam Sơn-Thanh Hóa] Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ và $Q(x)$ thỏa mãn$$ P(x+Q(y))=Q(x+P(y)),\quad\forall\,x,\,y\in\mathbb R. $$
  2. [Bắc Giang] Tìm các hàm số liên tục $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn$$ f(x+y) f(x-y)=f^{2}(x)f^{2}(y), \;\forall x, \,y \in \mathbb{R}. $$
  3. [Bắc Giang] Cho đa thức $P(x)=1+4 x+4 x^{2}+\dots+4 x^{2 n-1}+4 x^{2n}$, với $n$ là một số nguyên dương lẻ. Chứng minh rằng, $P(x)$ không thể là bình phương của một đa thức khác.

  4. [Chuyên KHTN-Hà Nội] Cho $a,\,b,\,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác, chứng minh rằng$$ \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{6 a}{2 a+b+c}+\frac{6 b}{2 b+c+a}+\frac{6 c}{2 c+a+b} \geq 6. $$
  5. [Chuyên KHTN-Hà Nội] Tìm $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho với các số thực $x,\,y$ bất kỳ, ta luôn có$$ f(x) f(y)+x^{2}=x\left[f(2 x)+f(f(y-x))\right]. $$
  6. [Ninh Bình] Tìm các hàm số liên tục $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn $$ f(x y)=f\left(\frac{x^{2}+y^{2}}{2}\right)+(x-y)^{2}, \;\forall \,x,\, y \in \mathbb{R}. $$
  7. [Ninh Bình] Cho ba số thực $a,\,b,\,c$ đôi một phân biệt, tìm giá trị nhỏ nhất của $$ P=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+a b+b c+c a\right)\left(\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}\right). $$
  8. [Ninh Bình] Tìm các số nguyên $x,\,y,\,z$ thỏa mãn$$ \left\{\begin{array}{l}{x^{3}-4 x^{2}-16 x+60=y}, \\ {y^{3}-4 y^{2}-16 y+60=z}, \\ {z^{3}-4 z^{2}-16 z+60=x.}\end{array}\right. $$
  9. [Cần Thơ] Cho tam thức bậc hai hệ số thực $P(x)=ax^2+bx+c$, với $a<b$ và $P(x)\ge 0$ với mọi số thực $x$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức$$ T=\frac{a+b+c}{b-a}.$$
  10. [Cần Thơ] Tìm hàm số $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho với bất kỳ $x,\,y\in\mathbb R$ ta có $f(x)\ge 2019x$ và\[f(x+y)\ge f(x)+f(y).\]
  11. [Lâm Đồng] Tìm đa thức hệ số thực $P(x)$ sao cho với số thực $x$ bất kỳ, ta có$$ P\left(x^{2}+x+3\right) P(3 x+1)-P\left(6 x^{3}+7 x^{2}+16 x+3\right). $$
  12. [Lâm Đồng] Tìm các hàm $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho với các số thực $x,\,y$ bất kỳ, ta có$$ f(f(x) f(y))+f(x+y)=f(x y). $$
  13. [Bình Dương] Tìm các hàm $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho với các số thực $x,\,y$ bất kỳ ta đều có$$ f\left(x^{2}-y^{2}\right)=(x-y)(f(x)+f(y)). $$
  14. [Bình Dương] Tìm các nghiệm thực của phương trình$$ \left(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1}\right) \left(x^{2}+\sqrt{x^{2}+4x+3}\right)=2x.$$
  15. [Bình Dương] Cho $x,\,y,\,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx=1$, tìm giá trị nhỏ nhất của$$ T=\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{z^{ 2}+1}. $$
  16. [Đồng Tháp] Cho $a,\,b,\,c$ là các số thực dương có tổng bằng $3$, chứng minh rằng$$ (a b+b c+c a)^{2}+9 \geq 18 a b c. $$
  17. [Bến Tre] Tìm các nghiệm thực $x$ trên đoạn $[-2;\,2]$ của phương trình$$ x^{3}+x^{2}-3 x-2=2 \sqrt{x+2}. $$
  18. [Bến Tre] Tìm các nghiệm thực $x$ của phương trình$$ \sqrt{x^{3}+2 x}+\sqrt{3 x-1}=\sqrt{x^{3}+4 x^{2}+4 x+1} $$
  19. [Bến Tre] Tìm các nghiệm thực của hệ phương trình$$ \left\{\begin{array}{c}{x^{2}-2 y^{2}=1}, \\ {2 y^{2}-3 z^{2}=1}. \\ {x y+y z+z x=1}\end{array}\right. $$
  20. [Bến Tre] Tìm các hàm $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho với các số thực $x,\,y$ bất kỳ ta đều có$$ f(f(x)+y)=f\left(x^{2}-y\right)+4 f(x) y. $$
  21. [Bến Tre] Tìm hàm $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn: với các số thực $x,\,y$ bất kỳ ta đều có$$ f(f(x)+2 f(y))=f(x)+y+f(y). $$
  22. [Quảng Bình] Tìm các số nguyên dương $m$ và $n$, sao cho với mỗi đa thức $P(x)$ bậc $m$ có hệ số thực luôn tồn tại một đa thức $Q(x)$ bậc $n$ có hệ số thực thỏa mãn\[Q(x)\mid Q(P(x)).\]
  23. [Sài Gòn] Cho các số thực dương $a,\,b,\,c,\,d$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+d^2=1$, chứng minh rằng$$
    4(1-a)(1-b) \geq(c+d)^{2}.$$
  24. [Sài Gòn] Tìm các hàm $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ liên tục tại $0$, sao cho với mỗi số thực $x$ ta đều có$$
    f(2018 x)+f(2019 x)=2020 x.$$
  25. [Sài Gòn] Cho $P(x)$ là đa thức đơn khởi, hệ số thực có bậc là $2019$. Biết rằng $P(x)$ có $2019$ nghiệm thực không nguyên, đôi một phân biệt. Giả sử mỗi đa thức $P\left(2x^2-4x\right)$ và $P\left(4x-2x^2\right)$ đều có đúng $2692$ nghiệm thực phân biệt.
    1. Có bao nhiêu nghiệm của $P(x)$ trong $(-2;\,2)$?
    2. Chứng minh rằng tồn tại ba đa thức đồng bậc $A(x),\,B(x),\,C(x)$ sao cho $A(x)C(x)\ne B(x)$ với mọi $x\in (0;\,1)$ và \[P(x)=A(x)B(x)C(x).\]
  26. [Chuyên Thái Bình] Tìm tất cả hàm số $f\,:\mathbb{R}\,\to\,\mathbb{R}$ thỏa điều kiện :
    $$f(f(x\,-\,y))\,=\,f(x)f(y)\,-\,f(x)\,+\,f(y)\,-\,xy\,\,\,\forall \,x,y\,\in\,\mathbb{R}.$$
  27. [Đại học Vinh] Tìm tất cả hàm số $f:\,(0,+\infty)\,\to\, (0,+\infty) thỏa:
    $f(f(xy)\,+\,2xy)\,=\,3xf(y)\,+\,3yf(x).$
  28. [Tiền Giang] Tồn tại hay không hàm số $f:\mathbb{R}\,\to\,\mathbb{R}$ liên tục trên $\mathbb{R}$ sao cho phương trình $f(x)\,=\,\alpha$ có đúng hai nghiệm thực phân biệt với mọi $\alpha \,\in\,\mathbb{R}.$
  29. [Tiền Giang] Cho các số thực dương $a,\,b,\,c$ thỏa $a\,<\,b\,<c$ và $|a^3\,-\,3a|\,=\,|b^3\,-\,3b|\,=\,|c^3\,-\,3c|.$ CMR $a\,+\,b\,=\,c.$
  30. [Quảng Ninh] Tìm tất cả các hàm $f:\,\mathbb{R}\,\to\,\mathbb{R}$ thỏa: $xf(x+xy)\,=\,xf(x)\,+\,f(x^2)f(y)\,\,\forall x,y\,\in\,\mathbb{R}.$
  31. [Phú Yên] Cho $2019$ số $a_i\,\in\,[0,2](i\,=\,1,2,3,...,2019$ thỏa $\sum\limits_{i = 1}^{2019} {{a_i}} \, = \,2019.$ Tìm $max \sum\limits_{i = 1}^{2019} {{{a_i}^2}}.$
  32. [Lào Cai] Tìm tất cả các hàm $f:\,\mathbb{R}\,\to\,\mathbb{R}$ thỏa:
    $f(x\,-\,f(y))\,=\,f(x)\,-\,2xf(y)\,+\,f(f(y))\,+\,1\,\,\forall x,y\,\in\,\mathbb{R}.$
  33. [Chuyên Amsterdam] Tìm tất cả các hàm $f:\,\mathbb{R}\,\to\,\mathbb{R}$ thỏa:
    $$f((x\,-\,y)^3)\,=\,(x\,-\,y)(f^2(x)\,-\,2yf(x)\,+\,y^2\,\,\,\,\forall\,x,y\,\in\,\mathbb {R}.$$
  34. [Bà Rịa-Vũng Tàu] Tìm tất cả các hàm $f:\,\mathbb{R}\,\to\,\mathbb{R}$ thỏa:
    $$f(x^2\,+\,4\,+\,f(y))\,=\,y\,-\,4x\,+\,f^2(x\,+\,2)\,\,\,\,\forall \,x,y\,\in\,\mathbb{R}.$$
  35. [Bà Rịa-Vũng Tàu] Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ có hệ số thực thỏa điều kiện:
    $$P(x^3)\,=\,P(x^2)P(x)\,+\,xP(x^2)\,+\,x^2P(x)\,\ ,\forall\,x\,\in\,\mathbb{R}.$$
  36. [Nghệ An] Cho $a,\,b$ là hai số dương thỏa $a^2\,+\,b^2\,=\,2.$ CMR: $(a\,+\,b)^3\,\geqslant \,16ab\sqrt{(1\,+\,a^2)(1\,+\,b^2)}.$
  37. [Thanh Hóa] Tìm tất cả các hàm $f:\,\mathbb{R^+}\,\to\,\mathbb{R^+}$ thỏa:
    $$xf(x^2)f(f(y))\,+\,f(yf(x)\,=\,f(xy)(f(f(x^2))\, +\,f(f(y^2))).$$
  38. [Thanh Hóa] Cho đa thức $P(x)\,=\,4x^2\,+\,5x\,+\,1\,-\,a,$ với $x\,\in\mathbb{R}$ và $a$ là số nguyên cho trước. Đặt $P_2(x)\,=\,P(P(x))\,=\,4(P(x))^2\,+\,5P(x)\,+\,1\ ,-\,a,$ P_{k+1}(x)\,=\,P(P_k(x))$ với mọi $k$ nguyên dương. CMR nếu tồn tại số nguyên $n$ sao cho $n\,=\,P_{101}(n)$ thì $a$ là số chính phương lẻ.
  39. [Tây Ninh] Cho các số dương $a_1,\,a_2,\,...,a_n$ thỏa điều kiện $$\frac{1}{a_1}\,+\,\frac{1}{a_2}\,+...\,+\,\frac{ 1}{a_n}\,=\,a_1\,+\,a_2\,+...+\,a_n.$$ Tìm giá trị nhỏ nhất của $a_1\,+\,\frac{{a_2}^2}{2}\,+...+\,\frac{{a_n}^n}{ n}.$
  40. [Hải Phòng] Xác định các đa thức $P(x),\,Q(x)$ hệ số thực thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
    $\,1.\,$ $Q(x)$ khác đa thức không và $degQ(x)\,<\,2.$
    $\,2.\,$ P(x^3-1)\,-\,x^3P(x-1)[P(x+1)\,+\,4]\,=\,x^6Q(x)\,\,\,\,\forall\,x\,\in\,\mathbb{R}.$


Sẽ update thường xuyên..

Thụy An 17-09-2019 07:50 AM

Trích:

Nguyên văn bởi MATHSCOPE (Post 214379)
[Bến Tre] Tìm hàm $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn: với các số thực $x,\,y$ bất kỳ ta đều có$$ f(f(x)+2 f(y))=f(x)+y+f(y). $$

Gọi $\cal P(x,\,y)$ là khẳng định đúng với mọi $x,\,y\in\mathbb R$ là: "$f(f(x)+2 f(y))=f(x)+y+f(y)$".

Giả sử $a,\,b\in\mathbb R$ thỏa mãn $f(a)=f(b)$, từ $\cal P(a,\,b)$ và $\cal P(b,\,a)$ có\[2f\left( a \right) + b = 2f\left( b \right) + a.\]Từ đây $a=b$, nói khác đi $f$ là đơn ánh, lại từ $\cal P\left(x,\,-f(x)\right)$ ta có\[f\left( {f\left( x \right) + 2f\left( { - f\left( x \right)} \right)} \right) = f\left( { - f\left( x \right)} \right).\]Từ tính đơn ánh của $f$, có\[f\left( x \right) + 2f\left( { - f\left( x \right)} \right) = - f\left( x \right).\]Nghĩa là có $f\left( { - f\left( x \right)} \right) = - f\left( x \right),\;(*)$, lại từ $\cal P\left(-f(x),\,x\right)$ có\[f\left( {f\left( x \right)} \right) = f\left( {f\left( { - f\left( x \right)} \right) + 2f\left( x \right)} \right) = f\left( { - f\left( x \right)} \right) + x + f\left( x \right) = x.\]Kết hợp điều vừa có với $(*)$, là ta có $f(x)=x$ với mọi $x\in\mathbb R$.

namdung 17-09-2019 09:06 AM

Yêu cầu của bài 6, 7 trong phần đại số cần đổi chỗ cho nhau.

Le khanhsy 17-09-2019 10:11 AM

Trích:

Nguyên văn bởi Le khanhsy (Post 214382)
BẤT ĐẲNG THỨC- HỆ PHƯƠNG TRÌNH
[*][Chuyên KHTN-Hà Nội] Cho $a,\,b,\,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác, chứng minh rằng$$ \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{6 a}{2 a+b+c}+\frac{6 b}{2 b+c+a}+\frac{6 c}{2 c+a+b} \geq 6. $$

Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta có $$\displaystyle\sum_{\text{cyc}}\dfrac{6a}{2a+b+c} =6+2\displaystyle\sum_{\text{cyc}}\dfrac{a-b-c}{2a+b+c}\\ \ge 6+\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{\text{cyc}}\left( a-b-c \right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right) \\ =6+\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{\text{cyc}}\left (\dfrac{a-b-c}{a+b}+\dfrac{b-c-a}{a+b}\right)\\ =6-\displaystyle\sum_{\text{cyc}}\dfrac{c}{a+b}.$$ Chuyển qua ta được điều cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c $ và tam giác suy biến thành $a=0$ và $b=c$ và hoán vị.
Trích:

Nguyên văn bởi Code chính
\begin{aligned}\displaystyle\sum_{\text{cyc}}\dfra c{6a}{2a+b+c}&=6+2\displaystyle\sum_{\text{cyc}}\d frac{a-b-c}{2a+b+c}\\ &\ge 6+\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{\text{cyc}}\left( a-b-c \right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)\ \ &=6+\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{\text{cyc}}\lef t(\dfrac{a-b-c}{a+b}+\dfrac{b-c-a}{a+b}\right)\\ &=6-\displaystyle\sum_{\text{cyc}}\dfrac{c}{a+b}.\end{ aligned} Chuyển qua ta được điều cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c $ và tam giác suy biến thành $a=0$ và $b=c$ và hoán vị.

Trích:

Nguyên văn bởi Le khanhsy (Post 214382)
[Bình Dương][/B] Tìm các nghiệm thực của phương trình$$ \left(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1}\right) \left(x^{2}+\sqrt{x^{2}+4x+3}\right)=2x.$$

Điều kiện bài toán $x\ge -1$. Viết lại đề bài như sau $$x^{2}+\sqrt{x^{2}+4x+3}=\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x +1}\right)x,$$ hay là $$x^2-\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1}\right)x+\sqrt{x^{2}+4x +3}=0,$$ hay $$\left(x-\sqrt{x+3}\right) \left(x-\sqrt{x+1}\right)=0.$$ Từ đây dễ dàng thu được $S=\left\{ \dfrac{1+\sqrt{5}}{2};\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\right \}$.
Trích:

Nguyên văn bởi Le khanhsy (Post 214382)
[*][Ninh Bình] Tìm các hàm số liên tục $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn $$ P=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+a b+b c+c a\right)\left(\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}\right). $$

Viết lại bài toán như sau $$6P=6\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+a b+b c+c a\right)\left(\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}\right).$$ Dễ thấy rằng $$6\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+a b+b c+c a\right)\ge (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2.$$ Do đó ta có $$6P\ge \left[ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \right]\left[\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}\right].$$ Hay chúng ta cần chứng minh $$6P\ge \left[x^2+y^2 +(x+y)^2\right]\left[\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{(x+y)^2} \right] $$ Xét hàm số $$f(t)=\left[t^2+1^2 +(t+1)^2\right]\left[\dfrac{1}{t^2}+\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{(t+1)^2} \right]=\dfrac{2(t^2+t+1)^3}{(t^2+t)^2}=\dfrac{27}{2}+ \dfrac{(2t+1)^2(t-1)^2(t+2)^2}{2(t^2+t)^2}.$$ Do đó ta có $P\ge \dfrac{9}{4}$. Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi hoán vị bộ nghiệm của hệ $a+b=2c,\, a+b+c=0$
Trích:

Nguyên văn bởi MATHSCOPE (Post 214379)
Các bài toán Đại Số
[*][Cần Thơ] Cho tam thức bậc hai hệ số thực $P(x)=ax^2+bx+c$, với $a<b$ và $P(x)\ge 0$ với mọi số thực $x$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức$$ T=\frac{a+b+c}{b-a}.$$[*]

Theo giả thiết thì $a>0,\, b>a,\, b^2\le 4ac.$. Do đó ta có $$4T=\dfrac{4a^2+4ab+4ac}{a(b-a)}\ge \dfrac{(2a+b)^2}{a(b-a)}.$$ Chúng ta lại có $$b+2a=(b-a)+3a\ge 2\sqrt{3a(b-a)}.$$ Từ đây suy ra $T\ge 3.$ Đẳng thức xảy ra khi $b=c=4a>0$.
Trích:

Nguyên văn bởi Le khanhsy (Post 214382)
BẤT ĐẲNG THỨC- HỆ PHƯƠNG TRÌNH
[Đồng Tháp] Cho các số thực $a,\,b,\,c$ có tổng bằng $3$, chứng minh rằng$$ (a b+b c+c a)^{2}+9 \geq 18 a b c. $$

Đặt $x=a+b,\, y=ab,\, x^2\ge 4y$, ta viết lại theo ngôn ngữ $x,y$ như sau $$f(y)=\left(x(3-x)+y\right)^2+9- 18y(3-x).$$ $$f'(y):=2y-(2x^2-24x+54).$$ Nếu $x\ge 8+2\sqrt{7}$ hoặc là $x\le 8-2\sqrt{7}$, ta có ngay $f'(y)\le 0$. Vậy nên $$f(y)\ge f\left(\dfrac{x^2}{4}\right)=\dfrac{9(x^2-4)^2}{16}\ge 0.$$ Nếu $ 8-2\sqrt{7}\le x\le 8+2\sqrt{7}$, ta có ngay $$f(y)\ge f\left( x^2-12x+27\right)=9(x-4)^2(2x-5)\ge 0.$$ Vậy nên bất đẳng chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)\sim(1,1,1)$. Hoặc hoán vị bộ $(a,b,c)\sim(-1,-1,5)$.
Trích:

Nguyên văn bởi Le khanhsy (Post 214382)
BẤT ĐẲNG THỨC- HỆ PHƯƠNG TRÌNH
[Ninh Bình] Tìm các số nguyên $x,\,y,\,z$ thỏa mãn$$ \left\{\begin{array}{l}{x^{3}-4 x^{2}-16 x+60=y}, \\ {y^{3}-4 y^{2}-16 y+60=z}, \\ {z^{3}-4 z^{2}-16 z+60=x.}\end{array}\right. $$

Xét phương trình $$f(t):=t^3-4t^2-16t+60-m=y-m$$ Chúng ta muốn rằng $ f(m)=0.$ nên thu được $m=\left\{-4,3,5\right\}$. Thử ta có $$ \left\{\begin{array}{l}{(x-4)^2(x+4)=y+4}\\ {(y-4)^2(y+4)=z+4} \\ {(z-4)^2(z+4)=x+4}\\ {(x-3)(x^2-x-19)=y-3}\\ {(y-3)(y^2-y-19)=z-3}\\{(z-3)(z^2-z-19)=x-3}\\ {(x-5)(x^2+x-11)=y-5}\\ {(y-5)(y^2+y-11)=z-5}\\{(z-3)(z^2+z-11)=x-5} \end{array}\right. $$ Dễ thầy rằng hệ có nghiệm tầm thường là $(x,y,z)=(-4,-4,-4);(3,3,3);(5,5,5).$ Bỏ qua nghiệm tầm thường và $x,y,z$ không thuộc một trong 3 phần tử $\left\{-4,3,5\right\}$ thì ta cần có $$\prod (x-4)^2(x^2-x-19)(x^2+x-11) = 1.$$ Điều này là vô lý khi ta kiểm tra lại hệ. Vậy có đáp số $(x,y,z)=(-4,-4,-4);(3,3,3);(5,5,5).$
Trích:

Nguyên văn bởi Le khanhsy (Post 214382)
BẤT ĐẲNG THỨC- HỆ PHƯƠNG TRÌNH
[*][Bến Tre] Tìm các nghiệm thực $x$ trên đoạn $[-2;\,2]$ của phương trình$$ x^{3}+x^{2}-3 x-2=2 \sqrt{x+2}. $$]

Viết lại phương trình như sau $$ x^{3}+x^{2}-3 x-2- (x+2)=2\sqrt{x+2}-(x+2),$$ hay là $$(x^2-4)(x+1)=\dfrac{4-x^2}{2\sqrt{x+2}+(x+2)},$$ $$(x^2-4)\left[x+1+\dfrac{1}{2\sqrt{x+2}+(x+2)} \right]=0.$$ Bỏ qua nghiệm tầm thường $x=\pm2$. Xét phương trình $$t^2-1+\dfrac{1}{2t+t^2}=0,\,\ 0\le t\le 2,$$ hay là $$(t^2+t-1)^2=0.$$ Giải phương trình trinh thì thu được $x=-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}.$ Vậy tập nghiệm phương trình là $S=\left\{-2,-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},2\right\}$.

nguyentatthu 17-09-2019 10:14 AM

Trích:

Nguyên văn bởi MATHSCOPE (Post 214379)
Các bài toán Đại Số
[*][Ninh Bình] Tìm các hàm số liên tục $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn $$ f(x y)=f\left(\frac{x^{2}+y^{2}}{2}\right)+(x-y)^{2}, \;\forall \,x,\, y \in \mathbb{R}. $$


Sẽ update thường xuyên..

Đặt $f(0)=c.$ Thay $y=0$ vào (1), ta thu được
\begin{equation*}
f(0)= f\left(\dfrac{x^2}{2}\right) + x^2, \, \forall x \in \mathbb R
\end{equation*}
hay \begin{equation*}
f(t)= -2t +c, \, \forall t\geq 0. \tag{2}
\end{equation*}
Thay $y=1$ vào (1), ta thu được
\begin{equation*}
f(x)= f\left(\dfrac{x^2+1}{2}\right) + (x-1)^2, \, \forall x \in \mathbb R.\tag{3}
\end{equation*}
Từ (2) và (3) suy ra
\begin{equation*}
f(x)=f\left(\dfrac{x^2+1}{2}\right) + (x-1)^2= -2\cdot\dfrac{x^2+1}{2} + c + (x-1)^2= c- 2x, \, \forall x \in \mathbb R.
\end{equation*}
Thử lại ta thấy hàm $f(x)= c -2x$ thoả mãn các điều kiện bài ra.
p/s: Bài này hình như tính liên tục không có ý nghĩa?

haianh88 17-09-2019 03:11 PM

Trích:

Nguyên văn bởi MATHSCOPE (Post 214378)
[*][Quảng Bình] Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ và $n=2^{2p}-1$. Chứng minh rằng, $n$ có ít nhất ba ước nguyên tố phân biệt và $$n\mid\left(2^n-8\right).$$

Đặt $1-2+\ldots+2^{p-1}=\Phi_p(-2)$, ta có \[n = \left( {{2^p} - 1} \right)\left( {{2^p} + 1} \right) = 3.\left( {{2^p} - 1} \right){\Phi _p}\left( -2 \right).\]Rõ ràng là ${2^p} - 1\equiv (-1)^p-1\equiv 1\pmod 3$ và $2^p-1>2^3-1>1$, cho nên $2^p-1$ có một ước nguyên tố $q>3$, đồng thời do $p$ lẻ và bổ đề LTE, ta có\[{v_3}\left( {{\Phi _p}\left( -2 \right)} \right) = {v_3}\left( {\frac{{{2^p} + 1}}{{2 + 1}}} \right) = {v_3}\left( p \right) = 0.\]Lại để ý ${{\Phi _p}\left( -2 \right)}>1$ và\[1 \le \gcd \left( {{\Phi _p}\left( { - 2} \right),{\mkern 1mu} \,{2^p} - 1} \right) \le \gcd \left( {3{\Phi _p}\left( { - 2} \right),{\mkern 1mu} \,{2^p} - 1} \right) = \gcd \left( {{2^p} + 1,{\mkern 1mu} {2^p} - 1} \right) = 1.\]Vậy, $\Phi _p\left( { - 2} \right)$ có một ước nguyên tố $r$ nào đó với $3,\,q,\,r$ đôi một khác nhau, tức là $n$ có ít nhất ba ước nguyên tố phân biệt, lại có\[{2^n} - 8 = 8\left( {{2^{{2^{2p}} - 4}} - 1} \right) = 8\left( {{{16}^{{2^{2\left( {p - 1} \right)}} - 1}} - 1} \right).\]Theo FLT, thì có thể viết $2^{2(p-1)}-1=kp$ với $k\in\mathbb N^*$ và lại có\[{2^n} - 8 = 8\left( {{{16}^{kp}} - 1} \right) = 8n\sum\limits_{0 \le j \le 2k} {{{\left( {{2^{2p}}} \right)}^j}.} \]Từ đây có nốt điều cần chứng minh.

Cutrone 17-09-2019 03:30 PM

Trích:

Nguyên văn bởi MATHSCOPE (Post 214378)
[*][Bến Tre] Với mỗi số nguyên dương $n$, ký hiệu $F_n=2^{2^n}+1$.
  1. Chứng minh rằng $\gcd\left(F_m,\,F_k\right)=1$ nếu $k$ và $m$ là các số nguyên dương phân biệt.
  2. Tìm chữ số tận cùng khi viết trong hệ thập phân của \[M = \text{lcm}\left( F_1,\, F_2,\, \ldots ,\,F_{2019} \right).\]

Ta có\[{F_{n + 1}} - 2 = {2^{{2^{n + 1}}}} - 1 = \left( {{F_n} - 2} \right){F_n}.\]Vậy nên nếu $m>k$, ta có\[{F_m} = 2 + \left( {{F_m} - 2} \right) = \left( {{F_k} - 2} \right){F_k}{F_{k + 1}} \ldots {F_{m - 1}} \equiv 2\;\;\,{\left( {\bmod F_k} \right)}.\]Từ đây, với để ý $F_k$ lẻ ta có\[\gcd \left( {{F_m},\,{F_k}} \right) = \gcd \left( {2,\,{F_k}} \right) = 1.\]Và cũng từ biến đổi trên ta sẽ có\[M = \prod\limits_{1 \le i \le 2019} {{F_i} = } \prod\limits_{1 \le i \le 2019} {\left( {\frac{{{F_{i + 1}} - 2}}{{{F_i} - 2}}} \right) = \frac{{{F_{2020}} - 1}}{3} = \frac{{{2^{{2^{2020}}}} - 1}}{3}} .\]Vì thế có\[3M = {2^{{2^{2020}}}} - 1 = {\left( {16} \right)^{{2^{2018}}}} - 1 \equiv 15\;\;\,\left( {\bmod 10} \right).\]Kéo theo $M$ sẽ phải có tận cùng là $5$.

Le khanhsy 17-09-2019 08:17 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Le khanhsy (Post 214382)
BẤT ĐẲNG THỨC- HỆ PHƯƠNG TRÌNH
[*][Bến Tre] Tìm các nghiệm thực $x$ của phương trình$$ \sqrt{x^{3}+2 x}+\sqrt{3 x-1}=\sqrt{x^{3}+4 x^{2}+4 x+1} $$

Với $x\ge 1/3$. Bình phương hai vế ta được
$$2\sqrt{3x-1}\sqrt{x(x^2+2)}=4x^2-x+2,$$
hay là
$$2\sqrt{3x^2-x}\sqrt{x^2+2}=4x^2-x+2,$$
$$\left(\sqrt{x^2+2}-\sqrt{3x^2-x} \right)^2=0.$$
So sánh điều ta được $x=\dfrac{1+\sqrt{17}}{4}.$

ThùyLinh 18-09-2019 12:23 AM

Trích:

Nguyên văn bởi MATHSCOPE (Post 214378)
[Cần Thơ][/B] Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ, chứng minh rằng\[p\mid \left( {\left\lfloor {{{\left( {45 + \sqrt {2019} } \right)}^p}} \right\rfloor - 89} \right).\]

Xét dãy số cho bởi công thức\[{a_n} = {\left( {45 + \sqrt {2019} } \right)^n} + {\left( {45 - \sqrt {2019} } \right)^n}.\]Ta có $a_0=2,\,a_1=90$ và với mỗi số tự nhiên $n$ thì\[{a_{n + 2}} = 90{a_{n + 1}} - 6{a_n}.\]Từ đó, ta có $a_n$ luôn là một số nguyên với mỗi số tự nhiên $n$. Để ý thêm là $0< {\left( {45 - \sqrt {2019} } \right)^n}<1$, nên với mỗi số nguyên dương $n$ ta lại có\[{a_n} - 1 < {\left( {45 + \sqrt {2019} } \right)^n} < {a_n}.\]Vậy nên với mỗi số nguyên tố $p$ lẻ, ta có\[\left\lfloor {{{\left( {45 + \sqrt {2019} } \right)}^p}} \right\rfloor - 89 = {a_p} - 90 = - 90 + 2\sum\limits_{0 \le 2k \le p} {\left( \begin{array}{c}
p\\
2k
\end{array} \right){{45}^{p - 2k}}{{2019}^k}} .\]Bây giờ để ý là với mỗi số nguyên dương $k$, ta có $p\mid\dbinom{p}{2k}$ cho nên theo định lý Flt ta có\[\left\lfloor {{{\left( {45 + \sqrt {2019} } \right)}^p}} \right\rfloor - 89 \equiv 2\left( {{{45}^p} - 45} \right) \equiv 0\;\;\,\left( {\bmod p} \right).\]

kenzie 18-09-2019 12:55 AM

Trích:

Nguyên văn bởi MATHSCOPE (Post 214379)
[Bắc Giang] Cho đa thức $P(x)=1+4 x+4 x^{2}+\dots+4 x^{2 n-1}+4 x^{2n}$, với $n$ là một số nguyên dương lẻ lớn hơn $1$. Chứng minh rằng, $P(x)$ không thể là bình phương của một đa thức khác.

Giả sử tồn tại $Q(x)$ sao cho $P=Q^2$, khi đó gọi $r$ là nghiệm của $P(x)$, thì $r\ne 1$ và cũng là nghiệm của đạo hàm $P'(x)$, do đó\[\begin{array}{l}
3 - 4{r^{2n}} &= 4\sum\limits_{0 \le k \le 2n - 1} {{r^k} = 4\left( {\frac{{{r^{2n}} - 1}}{{r - 1}}} \right).} \\
\left( {2n + 1} \right){r^{2n}} &= \sum\limits_{0 \le k \le 2n} {{r^k} = {r^{2n}} + \left( {\frac{{{r^{2n}} - 1}}{{r - 1}}} \right).}
\end{array}\]Kết hợp lại, ta sẽ rút ra được\[{r^{2n}} = \frac{3}{{4 + 8n}},\;\;\,r = - \frac{{2n + 1}}{{6n}}.\]Vậy là có\[{\left( {\frac{{2n + 1}}{{6n}}} \right)^{2n}} = \frac{3}{{4\left( {2n + 1} \right)}}.\]Kéo theo\[4{\left( {2n + 1} \right)^{2n + 1}} = 3{\left( {6n} \right)^{2n}}.\]So sánh bậc của $2$ trong phân tích ra thừa số nguyên tố của hai vế, ta có điều cần chứng minh.

Thụy An 18-09-2019 03:39 AM

Trích:

Nguyên văn bởi MATHSCOPE (Post 214379)
[*][Lam Sơn-Thanh Hóa] Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ và $Q(x)$ thỏa mãn$$ P(x+Q(y))=Q(x+P(y)),\quad\forall\,x,\,y\in\mathbb R. $$

Đặt $P(0)=a,\,Q(0)=b$ và $P(x)-Q(x)=d(x)$, với mọi số thực $x$ ta có ngay\[b=Q\left( 0 \right) = Q\left( { - Q\left( x \right) + Q\left( x \right)} \right) = Q\left( { - Q\left( x \right) + P\left( x \right)} \right) = Q\left( {d\left( x \right)} \right).\]Vậy là có được đánh giá về bậc\[\deg Q\deg d = \deg \left( b \right) \le 0.\]Rõ ràng, nếu $P=Q$ thì luôn thỏa, ta chỉ cần tìm các cặp đa thức ứng với $\deg d\ge 0$, khi đó
  1. Nếu $\deg Q\le 0$, ta có $Q(x)=b$ với mọi $x$ và\[P\left( x \right) = P\left( {x - b + Q\left( 0 \right)} \right) = P\left( {x - b + b} \right) = Q\left( {x - b + P\left( 0 \right)} \right) = b.\]Ta có $P=Q$, và chú ý là đang không xét tình huống này.
  2. Nếu $\deg Q> 0$ từ $\deg Q\deg d\le 0$ ta có luôn $\deg d=0$, cho nên \[P\left( x \right) = Q\left( x \right) + a - b.\]Lại từ giả thiết ta có\[P\left( {x + b} \right) = P\left( {x + Q\left( 0 \right)} \right) = Q\left( {x + P\left( 0 \right)} \right) = P\left( {x + a} \right) - a + b.\]Vậy, nếu đặt $P(x)-x=D(x)$ thì có ngay\[D\left( {x + a} \right) = D\left( {x + b} \right),\;(*).\]Do đang xét tình huống $P\ne Q$, nên $a\ne b$ đặt $b-a=\delta$, có $\delta\ne 0$ và vì thế với $n\in\mathbb N$ ta có\[D\left( x \right) = D\left( {x - a + a} \right) = D\left( {x - a + b} \right) = \ldots = D\left( {x + n\delta } \right).\]Dẫn đến phương trình $D(x)=D(0)$ có vô số nghiệm dạng $n\delta$, điều đó chỉ xảy ra khi $D(x):\,\text{const}$.

    Vậy nghĩa là $P(x)-x=D(x)=D(0)=a$, kéo theo $P(x)=x+a$ và $Q(x)=x+b$.
Tóm lại $P(x)=Q(x)$ hoặc $P(x)=x+a,\,Q(x)=x+b$ với các hằng số thực $a$ và $b$.

lindakieu201 18-09-2019 04:00 AM

Trích:

Nguyên văn bởi MATHSCOPE (Post 214378)
[*][Bình Dương] Tồn tại hay không số nguyên dương $n$ để $2020^n$ viết được thành tổng lập phương của $2019$ số nguyên dương chẵn liên tiếp.

Giả sử viết được như thế, tức là có số nguyên dương $k$ để\[{2020^n} = \sum\limits_{k \le j \le k + 2018} {{{\left( {2k} \right)}^3}.} \]Vì $a^3\equiv a\mod 3$, nên dẫn đến mâu thuẫn\[1 \equiv {2020^n} \equiv \sum\limits_{k \le j \le k + 2018} {2j \equiv 2019\left( {2k + 2018} \right) \equiv 0\;\;\,\left( {\bmod 3} \right).} \]

maily1990 18-09-2019 04:05 AM

Trích:

Nguyên văn bởi MATHSCOPE (Post 214378)
[*][Bình Dương] Cho đa thức $P(x)=x^p+ax^2+bx+c$, trong đó $a,\,b,\,c$ là các số nguyên còn $p$ là một số nguyên tố. Biết rằng, $P(x)$ có ba nghiệm nguyên $x_1,\,x_2,\,x_3$ thỏa mãn $p\nmid \left(x_1-x_2\right)\left(x_2-x_3\right)\left(x_3-x_1\right)$. Chứng minh rằng $abc+ca$ chia hết cho $p^3$.

Với mỗi số nguyên $x$, theo Flt ta có\[P\left( x \right) \equiv a{x^2} + \left( {b + 1} \right)x + c\;\;\,\left( {\bmod p} \right).\]Vì đa thức $f(x)=ax^2+(b+1)x+c$ có bậc nhỏ hơn $3$ mà phương trình đồng dư $f(x)\equiv 0\pmod p$ lại có ba lớp nghiệm phân biệt, cho nên theo định lý Lagrange thì các hệ số của nó đều phải chia hết cho $p$, từ đây\[p^3\mid a(b+1)c.\]

Le khanhsy 18-09-2019 10:40 AM

Trích:

Nguyên văn bởi Le khanhsy (Post 214382)
BẤT ĐẲNG THỨC- HỆ PHƯƠNG TRÌNH
[*][Bến Tre] Tìm các nghiệm thực của hệ phương trình$$ \left\{\begin{array}{c}{x^{2}-2 y^{2}=1}, \\ {2 y^{2}-3 z^{2}=1}. \\ {x y+y z+z x=1}\end{array}\right. $$

$$ \left\{\begin{array}{c}{2x^{2}-2 y^{2}=1+x^2}, \\ {3 y^{2}-3 z^{2}=1+y^2}. \\ {x y+y z+z x=1}\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}{2(x-y)(x+y)=(x+y)(x+z)}, \\ {3(y-z)(y+z)=(y+z)(y+x)}. \\ {x y+y z+z x=1}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}{(x+y)(z+2y-x)=0}, \\ {(y+z)(3z+x-2y)=0}. \\ {x y+y z+z x=1}\end{array}\right.$$
Trường hợp 1. Nếu $x+y=0$ ta thấy ngay hệ vô nghiệm vì $1=xy+z(x+y)=xy\le 0$.
Trường hợp 2. Nếu $y+z=0$ tương tự hệ cũng vô nghiệm.
Trường hợp 3. Hệ viết lại như sau
$$ \left\{\begin{array}{c}{z+2y-x=0}, \\ {3z+x-2y=0}. \\ {x y+y z+z x=1}\end{array}\right.$$
Bằng phương pháp thế chúng ta thu được $(x,y,z)=\left(-\sqrt{2},-\dfrac{1}{\sqrt{2}},0 \right)$ và $(x,y,z)=\left(\sqrt{2},\dfrac{1}{\sqrt{2}},0 \right)$.

Le khanhsy 18-09-2019 11:00 AM

Trích:

Nguyên văn bởi Le khanhsy (Post 214382)
BẤT ĐẲNG THỨC- HỆ PHƯƠNG TRÌNH
[*][Bình Dương] Cho $x,\,y,\,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx=1$, tìm giá trị nhỏ nhất của$$ T=\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{z^{ 2}+1}. $$

Còn lại 1 bài này duy nhất nhưng theo em nghĩ thì có max không phải min.

Le khanhsy 18-09-2019 11:53 AM

Trích:

Nguyên văn bởi Le khanhsy (Post 214384)
Viết lại phương trình như sau $$ x^{3}+x^{2}-3 x-2- (x+2)=2\sqrt{x+2}-(x+2),$$ hay là $$(x^2-4)(x+1)=\dfrac{4-x^2}{2\sqrt{x+2}+(x+2)},$$ $$(x^2-4)\left[x+1+\dfrac{1}{2\sqrt{x+2}+(x+2)} \right]=0.$$ Bỏ qua nghiệm tầm thường $x=\pm2$. Xét phương trình $$t^2-1+\dfrac{1}{2t+t^2}=0,\,\ 0\le t\le 2,$$ hay là $$(t^2+t-1)^2=0.$$ Giải phương trình trinh thì thu được $x=-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}.$ Vậy tập nghiệm phương trình là $S=\left\{-2,-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},2\right\}$.

Cách 2
Đặt $x=2 cost$ với $t\in \left[0,\pi\right]$. Phương trình viết lại như sau
$$cos(3t)+cos(2t)=2\left|cos\dfrac{t}{2}\right|,$$
hay là
$$cos\left(\dfrac{5t}{2}\right).cos\left(\dfrac{t} {2}\right)=cos\dfrac{t}{2},$$
Trường hợp $cos\left(\dfrac{t}{2}\right)=0$ ta được $cost=-1$ hay $x=-2$.
Trường hợp $cos\left(\dfrac{5t}{2}\right)=1$ ta được $t=0;\dfrac{4\pi}{5}$, hay $x=\left\{2;2cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)\right \}$.

MathForLife 18-09-2019 03:07 PM

[*][Quảng Bình] Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ và $n=2^{2p}-1$. Chứng minh rằng, $n$ có ít nhất ba ước nguyên tố phân biệt và $$n\mid\left(2^n-8\right).$$


$n=2^{2p}-1=(2^{p-1}+2^{p-2}+...+2+1).3.(2^{p-1}-2^{p-2}+...-2+1)=A.3.B$. Ta có $$A\equiv 1, B\equiv 1, -1 \text{(mod 3)}$$ và $$A\neq B$$ nên $A$ và $B$ sẽ có các ước nguyên tố khác nhau và khác $3$. Vậy $n$ có ít nhất $3$ ước nguyên tố.

$n=2^{2p}-1 \equiv 3 \text{(mod p)}\Rightarrow tp+3=2^{2p}-1=n$ với $t\equiv 0 \text{(mod 2)}$

Suy ra $2^{n}-8=2^{tp+3}-8=8(2^{tp}-1)$. Mà $(2^{tp}-1,2^{2p}-1)=2^{(tp,2p)-1}=2^{2p}-1$ nên ta có đpcm.

MathForLife 18-09-2019 04:24 PM

[*][Bắc Giang] Tìm tất cả các số nguyên dương $m$ có tính chất: nếu $a$ và $b$ là các ước số nguyên dương của $m$ và $\gcd\left(a,\,b\right)=1$ thì $a+b-1$ cũng chia hết $m$.


Đặt $n=p_{1}^{\alpha_{1}}...p_{k}^{\alpha_{k}}$. Chọn $a=p_{1}$, $b=p_{2}^{\alpha_{2}}...p_{k}^{\alpha_{k}}$. Khi đó $(a,b)=1$, $a|n$, $b|n$.

$a+b-1>b$ cũng là ước của $m$ nên $a+b-1=a^{k}b$. Mà $a^{k}b>ab>a+b-1$ với mọi $a,b>1$ nên ta có $a$ hoặc $b$ bằng 1. Suy ra $m$ có dạng $p^{k}$ với $p$ nguyên tố.

Thụy An 18-09-2019 05:09 PM

Trích:

Nguyên văn bởi MATHSCOPE (Post 214378)
[*][Bắc Giang] Tìm tất cả các số nguyên dương $m$ có tính chất: nếu $a$ và $b$ là các ước số nguyên dương của $m$ và $\gcd\left(a,\,b\right)=1$ thì $a+b-1$ cũng chia hết $m$.

Ta viết $n=2^kN$ với $N$ là số lẻ, để ý rằng nếu $a,\,b$ đều là ước của $N$ và $\gcd (a,\,b)=1$ thì $a\,b$ cũng là ước của $n$ vì thế $a+b-1$ cũng là ước lẻ của $n$ và do đó $a+b-1$ là ước của $N$. Tức là $N$ cũng có tính chất như $n$.

Giờ ta giả sử $p$ là ước nguyên tố bé nhất của $N$ và $v_p(N)=l$, khi đó đặt $\frac{N}{p^l}=N'$ thì $N'\mid N,\,p\mid N$ và $\gcd(p,\,N')=1$ nên\[(p+N'-1)\mid N.\]Nếu $N'$ có một ước nguyên tố là $q$ nào đó, khi đó do vai trò của $p$ nên $q\nmid (p-1)$ vậy nên $v_q(p-1)=0<v_q(N')$ theo tính chất phi Archimedean có\[{v_q}\left( {p + N' - 1} \right) = {v_q}\left( {p - 1} \right) = 0.\]Điều này cho thấy là tồn tại $t\in\mathbb N^*,\,t\le l$ sao cho\[p + N' - 1 = {p^t},\;(1).\]Vì đang xét $N'>1$ nên $l\ge t> 1$, lại để ý là $2\le\frac{p+1}{2}\le p-1<q$ nên\[{v_q}\left( {{p^2} - 1} \right) = {v_q}\left( {p - 1} \right) + {v_q}\left( 2 \right) + {v_q}\left( {\frac{{p + 1}}{2}} \right) = 0.\]Do đó theo tính chất phi Archimedean lại có\[{v_q}\left( {{p^2} + N' - 1} \right) = {v_q}\left( {{p^2} - 1} \right) = 0.\]Tức là sẽ tồn tại $T\in\mathbb N^*$ thỏa $t<T\le l$ để\[{p^2} + N' - 1 = {p^T},\;(2).\]Từ $(1)$ và $(2)$ sẽ có\[p\left( {p - 1} \right) = {p^2} - p = {p^t}\left( {{p^{T - t}} - 1} \right).\]Lấy $v_p$ hai vế, ta có $t=1,\,T=2$ dẫn đến mâu thuẫn trong trường hợp đang xét là $N'=1$.

Vậy, $N=p^l$ tức $n=2^kp^l$ với $k,\,l\in\mathbb N$ và $p$ là số nguyên tố lẻ.
  1. Nếu $k$ hoặc $l=0$, rõ ràng ta thấy thỏa mãn.

  2. Nếu $k,\,l\in\mathbb N^*$, ta có $p+1=2+p-1$ chia hết $n$ và $\gcd (p+1,\,p)=1$ cho nên $p+1=2^u$ với $u\in\mathbb N$ và do $p\ge 3$ nên ta có $2\le u\le k$ để lại có $2^2+p-1=p+3$ là ước của $n$. Nếu $p\nmid (p+3)$ thì sẽ phải có số tự nhiên $v$ thỏa $v>u$ để $p+3=2^v$ lúc này có mâu thuẫn là $2=(p+3)-(p+1)=2^v-2^u$ chia hết cho $4$. Vậy, $p\mid (p+3)$ mà $p\ge 3$ nên $p<p+3\le 2p$ cho nên $p+3=2p$ tức $p=3$. Như vậy, $n$ không có ước nguyên tố lớn hơn $5$, cho nên không thể xảy đến $8+3-1$ và $9+2-1$ là ước của $n$. Vì thế, $k=2$ và $l=1$, tức là $n=12$.
Tóm lại: $n=p^k$ với $k\in\mathbb N$, $p$ là số nguyên tố hoặc $n=12$.

MATHSCOPE 18-09-2019 05:42 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Le khanhsy (Post 214402)
Còn lại 1 bài này duy nhất nhưng theo em nghĩ thì có max không phải min.

Đúng đề là giá trị lớn nhất em à

MATHSCOPE 18-09-2019 05:44 PM

Trích:

Nguyên văn bởi MathForLife (Post 214409)
Suy ra $m$ có dạng $p^{k}$ với $p$ nguyên tố.

Số 12 thỏa mãn.

Thụy An 18-09-2019 07:49 PM

Trích:

Nguyên văn bởi MATHSCOPE (Post 214379)
[Sài Gòn] Cho $P(x)$ là đa thức đơn khởi, hệ số thực có bậc là $2019$. Biết rằng $P(x)$ có $2019$ nghiệm thực không nguyên, đôi một phân biệt. Giả sử mỗi đa thức $P\left(2x^2-4x\right)$ và $P\left(4x-2x^2\right)$ đều có đúng $2692$ nghiệm thực phân biệt.
  1. Có bao nhiêu nghiệm của $P(x)$ trong $(-2;\,2)$?
  2. Chứng minh rằng tồn tại ba đa thức đồng bậc $A(x),\,B(x),\,C(x)$ sao cho $A(x)C(x)\ne B(x)$ với mọi $x\in (0;\,1)$ và \[P(x)=A(x)B(x)C(x).\]

Với mỗi tập con $S$ của $\mathbb R$ và đa thực $p$, ta ký hiệu $\cal N_p(S)$ là số nghiệm thực của $p(x)$ trên $S$.

Xét $f(x)=2x^2-4x$, ta có $f\left(\mathbb R\right)=\left[-2;\,+\infty\right)$ vì thế mỗi nghiệm $r$ của $P(f(x))$ sẽ ứng với duy nhất nghiệm là $f(r)\in \left(-2;\,+\infty\right)$ (do $f(r)\ne 0$). Đảo lại, mỗi nghiệm $x_r\in \left(-2;\,+\infty\right)$ của $P(x)$ sẽ ứng với đúng hai nghiệm của $P(f(x))$ là\[{r_1} = 1 + \sqrt {\frac{{2 + {x_r}}}{2}} ,\;\;\,{r_2} = 1 - \sqrt {\frac{{2 + {x_r}}}{2}} .\]Vậy là sẽ có đẳng thức\[2692 = {{\cal N}_{P\left( f \right)}}\left(\mathbb R \right) = 2{{\cal N}_P}\left( {\left( { - 2;{\mkern 1mu} + \infty } \right)} \right).\]Vậy là có được ${{\cal N}_P}\left( {\left( { - 2;{\mkern 1mu} + \infty } \right)} \right)=1346$, cũng tương tự để có ${{\cal N}_P}\left( {\left( { -\infty;\,2 } \right)} \right)=1346$, đến đây ta có được\[\begin{array}{l}
{{\cal N}_P}\left( {\left( { - \infty ;{\mkern 1mu} - 2} \right)} \right) = {{\cal N}_P}\left( \mathbb R \right) - {{\cal N}_P}\left( {\left( { - 2;{\mkern 1mu} + \infty } \right)} \right) = 673.\\
{{\cal N}_P}\left( {\left( {{\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} + \infty } \right)} \right) = {{\cal N}_P}\left( \mathbb R \right) - {{\cal N}_P}\left( {\left( { - \infty ;{\mkern 1mu} \,2} \right)} \right) = 673.
\end{array}\]Cho nên số nghiệm trên $(-2;\,2)$ của $P(x)$ là\[{{\cal N}_P}\left( {\left( {{\mkern 1mu} - 2;\,2} \right)} \right) = {{\cal N}_P}\left( \mathbb R \right) - {{\cal N}_P}\left( {\left( { - \infty ;{\mkern 1mu} \, - 2} \right)} \right) - {{\cal N}_P}\left( {\left( {{\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} + \infty } \right)} \right) = 673.\]
Bây giờ ta xét các đa thức\[A\left( x \right) = \prod\limits_{a \in {{\cal N}_P}\left( {\left( { - \infty ;{\mkern 1mu} \, - 2} \right)} \right)} {\left( {x - a} \right),\;\;\,} B\left( x \right) = \prod\limits_{b \in {{\cal N}_P}\left( {\left( { - 2;{\mkern 1mu} \,2} \right)} \right)} {\left( {x - b} \right),\;\;\,C\left( x \right) = \prod\limits_{c \in {{\cal N}_P}\left( {\left( {2;{\mkern 1mu} + \infty } \right)} \right)} {\left( {x - c} \right).} } \]Thế thì $\deg A=\deg B=\deg C=673$ và đồng thời có được\[P(x)=A(x)B(x)C(x).\]Thêm nữa với $a \in {{\cal N}_P}\left( {\left( { - \infty ;{\mkern 1mu} \, - 2} \right)} \right),\:b \in {{\cal N}_P}\left( {\left( { - 2;{\mkern 1mu} \,2} \right)} \right),\:c \in {{\cal N}_P}\left( {\left( {2;{\mkern 1mu} + \infty } \right)} \right)$ và $x\in (-1;\,1)$ thì\[\left| {x - b} \right| < \max \left\{ {\left| {x - a} \right|,\:\left| {x - c} \right|} \right\} < \left| {x - a} \right|\left| {x - c} \right|.\]
Ta hoàn chỉnh chứng minh.

MathForLife 18-09-2019 10:51 PM

Trích:

Nguyên văn bởi MATHSCOPE (Post 214412)
Số 12 thỏa mãn.

Một chút sơ suất ạ. Xin chỉnh lại như sau.
[*][Bắc Giang] Tìm tất cả các số nguyên dương $m$ có tính chất: nếu $a$ và $b$ là các ước số nguyên dương của $m$ và $\gcd\left(a,\,b\right)=1$ thì $a+b-1$ cũng chia hết $m$.


Đặt $n=p_{1}^{\alpha_{1}}...p_{k}^{\alpha_{k}}$ trong đó $p_{i}<p_{j}$. Chọn $a=p_{1}$, $b=p_{2}^{\alpha_{2}}...p_{k}^{\alpha_{k}}$. Khi đó $(a,b)=1$, $a|n$, $b|n$.

$a+b-1>b$ cũng là ước của $m$ nên $a+b-1=a^{k}b$ hoặc $a+b-1=a^{k}t$ với $t$ là ước thực sự của $b$.

TH1: $a^{k}b>ab>a+b-1$ với mọi $a,b>1$ nên ta có $a$ hoặc $b$ bằng 1. Suy ra $m$ có dạng $p^{k}$ với $p$ nguyên tố.

TH2: Suy ra $a-1$ chia hết $t$ vậy $t=1$. Chọn $a=p_{1}^{\alpha_{1}-1}$. Khi đó $a+b-1=p_{1}^{\alpha_{1}-1}+p_{1}^{k}-p_{1}=p_{1}^{\alpha_{1}}$ hoặc bằng $p_{1}^{\alpha_{1}-1}$.Tất cả đều suy ra $b=1$ hoặc $\alpha_{1}=2$ và $p_{1}=2$ hay $n=12$.

Ho Tung Quan 19-09-2019 11:14 AM

Bình Dương - PTH
 
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(x^2-y^2)=(x-y)[f(x)+f(y)], \forall x, y \in \mathbb{R}.$(1)
Lời giải
Thay $x=y$ vào (1), ta được: $f(0)=0.$
Thay $y=0$ vào (1), ta được: $f(x^2)=xf(x).$
Thay $x=0$ vào (1), ta được: $f(-y^2)=-yf(y).$
Từ đó suy ra $f$ là hàm số lẻ.
Đặt $a=x-y, b=x+y,$ từ (1) ta có: $f(ab)=a\left[f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)+f\left(\dfrac{b-a}{2}\right)\right]$ $\rightarrow f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)=\dfrac{f(ab)}{a}-f\left(\dfrac{b-a}{2}\right) (2)$
Do vế trái của (2) đối xứng nên: $\dfrac{f(ab)}{a}-f\left(\dfrac{b-a}{2}\right)=\dfrac{f(ab)}{b}-f\left(\dfrac{a-b}{2}\right).$
Từ đó: $f(ab)\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)=f\left(\dfrac{b-a}{2}\right)-f\left(\dfrac{a-b}{2}\right).$
Do đó: $\dfrac{f(ab)}{ab}=\dfrac{f(\frac{b-a}{2})}{\frac{b-a}{2}},$ (do $f$ lẻ).
Từ đó suy ra: $\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{f(y)}{y}=k, x\neq 0, y\neq 0.$
Do $f(0)=0$ nên $f(x)=kx, \forall x\in \mathbb{R}.$ Thử lại thấy thỏa.

Le khanhsy 19-09-2019 11:49 AM

Chọn đội tuyển hồ chí minh 2019
 
Trích:

Cho các số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+d^2=1$. Chứng minh rằng
$$4(1-a)(1-b)\ge (c+d)^2$$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cơ bản
$$2(c^2+d^2)\ge (c+d)^2.$$
Vì thế chúng ta cần chứng minh bất đẳng thức
$$4(1-a)(1-b)\ge 2(1-a^2-b^2),$$
hay
$$2(a+b-1)^2\ge 0. $$
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Hoàn tất chứng minh

Le khanhsy 19-09-2019 12:58 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Le khanhsy (Post 214382)
BẤT ĐẲNG THỨC- HỆ PHƯƠNG TRÌNH
[*][Bình Dương] Cho $a,\,b,\,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$, tìm giá trị lớn nhất của$$ T=\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{ 2}+1}. $$

Ta có theo gỉa thiết thì $(a+b)c=1-ab.$ Nếu 2 biến có tổng là 0 thì ta có ngay không tồng tại giả thiết. Vậy nên viết lại bất đẳng thức như sau $$T=\dfrac{1}{a^{2}+1}+\dfrac{1}{b^{2}+1}+\dfrac{1 }{ \left(\dfrac{1-ab}{a+b}\right)^2+1},$$ $$P=\dfrac{1}{a^{2}+1}+\dfrac{1}{b^{2}+1}+\dfrac{( a+b)^2}{(a^2+1)(b^2+1)}= \dfrac{2(a^2+b^2+ab+1)}{(a^2+1)(b^2+1)}=\dfrac{9}{ 4}- \dfrac{(3ab-1)^2+(a-b)^2}{2(a^2+1)(b^2+1)}.$$
Vậy nên $\max T=\dfrac{9}{4}.$ Hoàn tất bài toán

Thụy An 19-09-2019 06:49 PM

Trích:

Nguyên văn bởi MATHSCOPE (Post 214378)
[Khánh Hòa] Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, đều tồn tại duy nhất một cặp số nguyên dương $(a,\,b)$ sao cho \[n = a + \frac{{\left( {a + b - 1} \right)\left( {a + b - 2} \right)}}{2}.\]

Ta sắp xếp các cặp số nguyên dương thành một dãy theo quy tắc: cặp $(1,\,1)$ đứng đầu dãy, cặp $\left(a,\,b\right)$ sẽ đứng trước cặp $\left(a',\,b'\right)$ nếu như $a+b>a'+b'$ hoặc là $a+b=a'+b'$ nhưng $a<a'$.

Việc sắp xếp thành một dãy bằng quy tắc đó, sẽ tạo nên một song ánh $f:\,\left(\mathbb N^*\right)^2\to\mathbb N^*$ cho tương ứng mỗi cặp số nguyên dương với thứ tự của nó trong dãy.

Giờ, ta đi tính $f\left((a,\,b)\right)$ với $(a,\,b)\ne (1,\,1)$ bằng cách đếm số các cặp đứng trước nó. Với một cặp $(u,\,v)$ đứng trước $(a,\,b)$, thì có hai khả năng
  1. Nếu $u+v<a+b$, đặt $a+b-1-u-v=w$ ta có $u+v+w=a+b-1$, ta quy về bài toán chia $a+b-1$ cái kẹo cho $3$ đứa trẻ sao cho mỗi đứa có ít nhất một cái. Và ta có kết quả là $\dbinom{a+b-1}{2}$.

  2. Nếu $u+v=a+b$, khi đó do $u\in\mathbb N^*$ và $u<a$ nên có đúng $a-1$ cặp $(u,\,v)$.
Như vậy, đứng trước cặp $(a,\,b)$ có đúng $ \dbinom{a+b-1}{2} +a-1$ cặp, cho nên\[f\left( {(a,{\mkern 1mu} b)} \right) =1+\dbinom{a+b-1}{2} +a-1= a + \frac{{\left( {a + b - 1} \right)\left( {a + b - 2} \right)}}{2}.\]Do $f$ là một song ánh từ $\left(\mathbb N^*\right)^2$ lên $\mathbb N^*$, nên ta có điều cần chứng minh.

PS. Bài này có thể giải đơn giản nữa, bằng cách chỉ rõ ra $a$ và $b$ qua hàm phần nguyên.

Hải Thụy 20-09-2019 01:22 AM

Các bài toán Giải Tích
1.[ TPHCM Ngày 1] Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $$u_1\,=\,\frac{-1}{3},\,u_{n+1}\,=\,\frac{u_n\,+\,1}{\sqrt{{u_n}^2 \,+\,1}}\,-\,1,\,n\,=\,1,2,3...$$ Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó.
2. [ Lam Sơn-Thanh Hóa]Cho dãy $(x_n)$ xác định bởi: $$x_1\,=\,\alpha,\,(\alpha \in\,\mathbb{R}),\,\,x_{n+1}\,=\,(1\,+\,\frac{1}{n +1}\,-\,\frac{2}{(n+1)^2})x_n\,+\,\frac{8}{(n+1)^2},\,\, \forall n\,\geqslant\,1.$$ Tìm số hạng tổng quát của dãy $(x_n),$ từ đó tìm $\alpha$ để dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn.

3. [Lam Sơn-Thanh Hóa] Tìm tất cả các hàm $f:\,\mathbb{R}\,\to\,\mathbb{R},$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa: $$f(xy)\,+\,f(x+y)\,=\,f(xy+x)\,+\,f(y).$$
4. [Sóc Trăng ngày 1]Cho dãy số $(u_n)$ thỏa: $$\left\{ \begin{gathered} {u_1}\, = \,2020 \hfill \\ 2020{u_{n + 1}}\, = \,2019{u_n}\, + \,u_n^2,\,\,\,\,\,\forall \,n\, \in \,{N^*} \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ Tính $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{u_k}}}{{{u_{k + 1}}\, - \,1}}.} $
5. [ Sóc Trăng ngày 2]Cho dãy số $(a_n)$ xác định như sau: $$\left\{ \begin{gathered} {a_1}\, = \,5,\,{a_2}\, = \,13 \hfill \\ {a_{n + 2}}\, = \,5{a_{n + 1}}\, - \,6{a_n},\,\,\,\,\,\forall \,n\, \in \,{N^*} \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ Chứng minh rằng với $k$ nguyên dương bất kì, nếu $p$ là một ước nguyên tố của $a_{2k}\,+\,2.6^k$ thì $p$ cũng là ước của $a_{2k+1}\,+\,5.6^k.$ 6. [Lào Cai] Cho $(a_n),\,(b_n)$ thỏa: $$a_0\,=\,1,\,a_1\,=\,\frac{1}{2},\,b_n\,=\,\frac{ 1}{3}\,+\,2a_{n+1},\,2b_{n+1}\,=\,2b_n\,-\,a_n.$$ Với mỗi $n\,\in \mathbb{N},$ đặt ${c_n}\, = \,\frac{1}{{{2^{n + 1}}}}\sum\limits_{i = 0}^n {\frac{{{b_i}}}{{{a_i}}}.} $ Tính lim$c_n.$
7. [Cần Thơ]Cho hàm số $f$ liên tục trên $[0;2020]$ thỏa $f(2020)\,=\,f(0)\,+\,2020,$ $f(1010)\,\ne f(0)\,+\,1010.$ Chứng minh rằng tồn tại $x_1,\,x_2\,\in\, (0;2020)$ mà $x_1\,\ne\,x_2$ sao cho $f(x_1)\,-\,x_1\,=\,f(x_2)\,-\,x_2.$
8. [PTNK] Số thực $\alpha$ được gọi là điểm tụ của dãy số $(u_n)$ nếu tồn tại ít nhất một dãy con của dãy $(u_n)$ hội tụ đến $\alpha.$ $\,(a)\,$ Hãy chỉ ra một dãy có vô hạn điểm tụ. $\,(b)\,$ CMR nếu mọi dãy con của dãy $(u_n)$ đều hội tụ thì dãy $(u_n)$ cũng hội tụ. $\,(c)\,$ Gọi $S$ là tập các số chính phương. Dãy số $(a_n)$ thỏa $a_n\,=\,\frac{1}{n}$ nếu $n\,\in \,S$ bỏ ${0}$ và $a_n\,=\,\frac{1}{n^2}$ nếu $n\,\notin \,S.$ Xét tính hội tụ của các dãy $(a_n),\,(b_n)$ với $b_n\, = \,\sum\limits_{i = 0}^n {{a_i}.}$ 9. [Bắc Giang]Tìm hàm số liên tục: $f:\,\mathbb{R}\,\to\,\mathbb{R}$ thỏa: $$f(x+y)f(x-y)\,=\,f^2(x)f^2(y)\,\,\,\,\,\forall x,\,y\,\in\,\mathbb{R}.$$
10. [KHTN] Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi: $$a_0\,=\,1,\,a_1\,=\,\frac{1}{2},\,a_{n+1}\,=\,\f rac{{a_n}^3}{2{a_{n-1}}^2-{a_n}^2}$$ với mọi $n\,\geqslant \,1.$ Đặt ${x_n}\, = \,\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{a_k}}}{{{2^k}}}.} $ CMR dãy $(x_n)$ hội tụ và tìm giới hạn đó.
11. [Hùng Vương-Bình Dương] Với mỗi $n\,\in\,\mathbb{N^*},$ đặt ${Q_n}(x)\, = \,\prod\limits_{i = 0}^n {(x - {i^2})} $ và kí hiệu ${Q'_n(x)}$ là đa thức đạo hàm của $Q_n(x).$ $\,1.\,$ Khi $n\,=\,2020$ thì đa thức $Q'_n(x)$ có bao nhiêu nghiệm thực? $\,2.\,$ CMR với mỗi $n$ nguyên dương, đa thức $Q'_n(x)$ có duy nhất một nghiệm thực $x_n$ thuộc $(0;1).$ $\,3.\,$ Tồn tại hay không giới hạn của dãy $(x_n)$ khi $n\,\to\,+\infty?$
12. [ĐH Vinh]Cho dãy $(x_n)$ xác định bởi: $$x_1\,=\,1,\,{x_{n + 1}}\, = \,\sqrt[3]{{8x_n^3\, + 12x_n^2 + 1}}$$ với mọi $n$ nguyên dương. Tính $\lim \frac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}.$ 13. [Amsterdam]Cho hàm số $y\,=\,x\,+\,\frac{1}{x}$ với $x\,>\,0$ có đồ thị $(C).$ Một đường thẳng đi qua điểm $A(0;1)$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M$ và $N.$ Các tiếp tuyến với $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M,\,N$ cắt nhau tại điểm $P.$ Tìm hoành độ điểm $P,$ và chứng minh rằng tung độ của điểm $P,$ kí hiệu $y_P$ thỏa $2\,<\,y_P\,<\,\frac{5}{2}.$
14. [Lâm Đồng] Cho số thực $a$ và dãy số thực $(u_n)$ thỏa: $$\left\{ \begin{gathered} {u_1}\, = \,a \hfill \\ {u_{n + 1}}\, = \,\ln (8\, + \,\cos {u_n}\, + \,\sin {u_n})\, + \,2019,\,\,\,\forall \,n\,=\,1,2,3...\,\,\, \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ CMR dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn.
15. [Đồng Tháp]Cho dãy số thực dương $(x_n)$ xác định bởi: ${x_n}\, = \,2(1\, - \,\frac{1}{{2{n^2}\, + \sqrt {4{n^4}\, + \,1} }})$ với mọi $n$ nguyên dương. Đặt ${S_n}\, = \,\sum\limits_{i = 1}^n {\sqrt {{x_i}} } \,(n\, \geqslant \,1).$ $\,a.\,$ Tính $S_{20}.$ $\,b.\,$ CMR tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $S_n$ nhận giá trị nguyên.
16. [Quảng Bình] Cho hai dãy số thực $(a_n),\,(b_n)$ thỏa mãn: $ \left\{ \begin{gathered} {a_1}\, = \,2 \hfill \\ {a_n}\, = \,2(n + {a_{n - 1}}),\,\forall \,n\, \geqslant 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ và $\left\{ \begin{gathered} {b_1}\, = \,2 \hfill \\ {b_n}\, = \,\frac{{n + 1}}{{n - 1}}({b_1} + \,{b_2}\, + ... + \,{b_{n - 1}}),\,\forall \,n\, \geqslant 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\,a.\,$ CMR $a_n\,<\,2^{n+2}$ với mọi $n$ nguyên dương.\\ $\,b.\,$ Tính giới hạn: $\lim \frac{{2({b_n} + n + 2) + {a_n}}}{{{6^n}}}.$
17. [Hà Tĩnh] Cho các dãy số $(u_n),\,(v_n)$ thỏa: $lim(u_n)^n\,=\,2,\,lim(v_n)^n\,=3;\,u_n,\,v_n\,\n eq \,1$ với mọi $n.$ $\,a.\,$ CMR lim$u_n\,=\,1.$ $\,b.\,$ Tìm lim$(\frac{2u_n+3v_n}{5})^n.$
18. [Hà Nam]
Cho hai số thực $a,\,b\,\in\,(0,1)$ và dãy số $(x_n)$ thỏa : $$x_1\,=\,a,\,x_2\,=\,b,\,{x_{n + 2}}\, = \,\frac{1}{4}x_{n + 1}^2\, + \,\frac{3}{4}\sqrt {{x_n}} \,,\,\forall \,n\, \geqslant 1.$$ CMR dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính lim$x_n.$

19. [Phú Thọ] Có tồn tại hay không hàm $f(x)$ gián đoạn tại mọi điểm thuộc $\mathbb R$ còn $f(x)^2$ liên tục trên $\mathbb R$.
20. [Vĩnh Long] Cho dãy $(a_n)$ thỏa mãn điều kiện : $a_1\,=\,2$ và $(4-a_n)(6+a_{n-1})\,=\,24$ với mọi $n$ nguyên dương và $n\,\geqslant \,2.$
$\,a.\,$ CMR $a_n\,\neq \,0 $ với mọi $n\,\in\,\mathbb{N^*}.$
$\,b.\,$ Tính $S_{2020}\,=\,\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\fra c{1}{a_{2020}}.$
21. [Bình Dương-1] Cho dãy số $(u_n)$ thỏa $u_1\,=\,2020,\,u_{n+1}\,=\,\frac{{u^4}_n\,+\,2019 ^2}{{u^3}_n\,-\,u_n\,+\,4038}$ với mọi $n$ nguyên dương.
Đặt $v_n\,=\,\sum \limits_{k=1}^n{\frac{1}{{u^3}_k+2019}}$ với mọi $n\,\in\,\mathbb{N^*}.$ Tính lim$v_n.$
22. [KHTN-3] Cho dãy số $(a_n)$ thỏa: $a_1\,=\,\frac{2}{3},\,a_{n+1}\,=\,\frac{{a_n}^2+( n-1)a_n+2}{n+2}$ với mọi $n$ nguyên dương.
$\,a.\,$ CMR dãy $(a_n)$ bị chặn.
$\,b.\,$ Cm dãy $(a_n)$ hội tụ và tìm giới hạn.

Thụy An 20-09-2019 03:05 PM

Trích:

Nguyên văn bởi MATHSCOPE (Post 214378)
[Phú Thọ.] Tìm các số tự nhiên $k,\,m,\,n$ sao cho \[k^3=5^m+7^n.\]

Ta thấy $k$ chẵn nên $5^m+7^n$ là bội của $4$, kết hợp $5\equiv 1\mod 4$ vì thế $n>0$. Để ý rằng, $5$ là căn nguyên thủy mod $7$, cho nên từ $7\nmid k$ có $5^{2m}\equiv k^6\mod 7$ tức là $3\mid m$, viết $m=3t,\,t\in\mathbb N$ và đặt $5^t=l$ ta có $7\nmid kl$ và\[\left( {k - l} \right)\left( {{k^2} + kl + {l^2}} \right) = {7^n}.\]Như vậy, $\gcd\left(k-l,\,k^2+kl+l^2\right)$ là ước của $7^n$ mà $7\nmid 3kl$ và\[\gcd \left( {k - l,{\mkern 1mu} {k^2} + kl + {l^2}} \right) = \gcd \left( {k - l,{\mkern 1mu} 3kl} \right).\]Từ đây có $k-l=1$, kéo theo\[3{k^2} - 3k + 1 = {7^n}.\]Nếu $m\ge 1$, có $k=l+1\equiv 1\mod 5$, vì $7$ là căn nguyên thủy mod 5 nên ta có $n=4s$ với $s\in\mathbb N^*$, từ đây có luôn mâu thuẫn là \[{k^3} = {5^m} + {7^{4s}} \equiv 2\;\;\,\left( {\bmod 4} \right).\]Vậy, $m=0$ tức là $l=1$ từ đó $k=2$ và $n=1$.

------------------------------
Trích:

Nguyên văn bởi Hải Thụy (Post 214419)
19. [Phú Thọ] Có tồn tại hay không hàm $f(x)$ gián đoạn tại mọi điểm thuộc $\mathbb R$ còn $f(x)^2$ liên tục trên $\mathbb R$.

Xét hàm số\[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
1,&\:{\mkern 1mu} {\rm{nếu}}\:x \in \mathbb Q,\\
- 1,&\:{\mkern 1mu} {\rm{nếu}}\:x \in \mathbb R \setminus \mathbb Q.
\end{array} \right.\]
Hàm này thỏa mãn yêu cầu.

Hải Thụy 21-09-2019 01:00 AM

MỘT SỐ CÂU HÌNH

Bài 1. [LHP-TPHCM-1] Cho đường thẳng $d$ cố định và điểm $A$ cố định không thuộc $d.$ Các điểm $B,\,C$ di động trên $d$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn và $AB\,<\,AC.$ Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, $AI$ cắt $BC$ tại $D,$ cắt $(ABC)$ tại $J,$ khác $A.$
$\,a.\,$ CMR $IJ^2\,=\,JD.JA.$
$\,b.\,$ Gọi $K$ đối xứng $I$ qua $BC.$ $AI$ cắt $(BIC)$ tại $G$ khác $I.$ CMR $GK$ luôn đi qua một điểm cố định.
$\,c.\,$ Gọi $E$ là tâm đường tròn qua $A$ và tiếp xúc $BC$ tại $D,$ gọi $M,\,N$ là hình chiếu của $D$ lên $BE,\,CE.$ Chứng minh $B,\,I,\,M,\,N,\,C$ đồng viên.
Bài 2. [PTNK-1]Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ với $B,\,C$ cố định và $A$ thay đổi trên cung lớn $BC.$ Các đường tròn bàng tiếp góc $A,\,B,\,C$ lần lượt tiếp xúc $BC,\,CA,\,AB$ tại $D,\,E,\,F.$
$\,a.\,$ Gọi $L$ là giao điểm thứ hai của $(ABE)$ và $(ACF).$ CMR $AL$ luôn đi qua một điểm cố định.
$\,b.\,$ $(BCF)$ cắt $(BAD)$ tại $M,\,B,$ $(CAD)$ cắt $(CBE)$ tại $N,\,C.$ Gọi $K,\,I,\,J$ lần lượt là trung điểm $AD,\,BE,\,CF.$ CMR $KL,\,IM,\,JN$ đồng quy.
Bài 3. [PTNK-2] Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O).$ Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC,\,CA,\,AB$ lần lượt tại $D,\,E,\,F.$ Gọi $J$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $D$ lên $EF.$
$\,a.\,$ CM giao điểm của $AH$ và $JD$ thuộc $OI.$
$\,b.\,$ $DH$ cắt $(I)$ tại $K$ khác $D,$ $IK$ cắt $(IEF)$ tại $L$ khác $I.$ CM $AD$ và $LH$ cắt nhau tại một điểm trên đường tròn $(IEF).$
Bài 4. [Khánh Hòa-1] Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân có đường trung tuyến $AM$ và phân giác trong $AD.$ Qua điểm $N$ trên đoạn $AD$($N$ không trùng $A,\,D$)kẻ $NP$ vuông góc $AB$ ($P$ thuộc cạnh $AB.$)Đường thẳng qua $P$ vuông góc $AD$ cắt đoạn thẳng $AM$ tại $Q.$ CMR $QN\,\bot \,BC.$
Bài 5. [Phú Thọ] Cho tam giác $ABC$ thỏa $AB\,=\,AC\,>\,BC.$ Gọi $I$ là tâm nội tiếp tam giác, $BI$ cắt $AC$ tại $D,$ lấy $J$ đối xứng $I$ qua $AC.$ Đường tròn $(BDJ)$ cắt $AI$ tại $E.$
$\,a.\,$ CMR $ED\,//\,IJ.$
$\,b.\,$ CMR $9AE\,\geqslant\,8AI.$
Bài 6. [Khánh Hòa-2] Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân nội tiếp đưởng tròn $(O),$ ba đường cao $AD,\,BE,\,CF.$ Gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $I$ là giao điểm $EF$ và $BC.$
$\,a.\,$ $AD$ cắt $(O)$ tại $L.$ CMR $A,\,I,\,L,\,M$ đồng viên.
$\,b.\,$ Qua $D$ kẻ đường thẳng song song $EF;$ cắt $AB,\,AC$ lần lượt tại $R,\,S.$ CMR $DM.DI\,=\,DR.DS.$
Bài 7. [Kiên Giang] Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(\Omega).$ Các tiếp tuyến tại $B,\,C$ cắt tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn lần lượt tại $K,\,L.$ Đường thẳng qua $K$ song song $AB$ cắt đường thẳng qua $L$ song song $AC$ tại $P.$ CMR $BP\,=\,CP.$
Bài 8. [Đồng Nai]Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I).$ Gọi $D,\,E,\,F$ lần lượt là tiếp điểm của $(I)$ với $BC,\,CA,\,AB.$ Gọi $M$ là trung điểm $AB.$ Gọi $N,\,P,\,Q$ lần lượt là giao điểm ba đường thẳng $AM,\,BI,\,CI$ với đường thẳng $EF.$
$\,a.\,$ CMR ba điểm $D,\,N,\,I$ thẳng hàng.
$\,b.\,$ CM bốn điểm $B,\,C,\,P,\,Q$ đồng viên.
Bài 9. [Hà Tĩnh] Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân, các đường cao $AA_1,\,BB_1$ cắt nhau tại $H.$ Hai đường tròn $(ABC)$ và $(A_1B_1C)$ cắt nhau tại $N$ khác $C.$ Gọi $M$ là trung điểm $AB,$ $K$ là giao điểm $CN$ và $AB.$ Đường thẳng $CM$ cắt đường tròn $(A_1B_1C)$ tại điểm thứ hai $P,$ cắt $(ABC)$ tại điểm thứ hai $Q.$
$\,a.\,$ CMR $K,\,H,\,P$ thẳng hàng.
$\,b.\,$ CMR $AQ\,=\,BP.$
Bài 10. [Hà Nam]Cho $A$ là điểm di động trên cung lớn $BC$ cố định của đường tròn $(O).$ Gọi $I$ là tâm nội tiếp của tam giác $ABC.$ Trên cạnh $BC$ lần lượt lấy $P,\,Q$ sao cho $IP\,\bot\,IC,\,IQ\,\bot\,IB.$ \\
$\,a.\,$ Gọi $D$ là trung điểm cung nhỏ $BC$ của $(O).$ CMR $AD $ là trục đẳng phương hai đường tròn $(ABP)$ và $(ACQ).$
$\,b.\,$ Gọi $L$ là giao điểm ba đường đối trung của tam giác $IPQ.$ Gọi $S$ là trung điểm $PQ.$ CMR $LS$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ di động trên cung lớn $BC$ của $(O).$
Bài 11. [Lam Sơn] Cho đường tròn $(O;R)$ và một điểm $I$ cố định khác $O$ ở trong đường tròn, đường thẳng qua $I$ vuông góc $OI$ cắt đường tròn tại hai điểm $C,\,D.$ $A$ là một điểm nằm trên đường tròn, tia đối xứng với tia $IA$ qua đường thẳng $CD$ cắt đường tròn tại $B,$ gọi $M$ là trung điểm $AB.$
$\,a.\,$ CMR đường thẳng $AB$ đi qua một điểm cố định $L$ khi $A$ thay đổi trên $(O;R).$
$\,b.\,$ Gọi $N,\,P$ là giao điểm của đường thẳng $OM$ với đường tròn $(O;R).$ Điểm $N$ nằm trên cung $ADB,$ $CN$ và $DP$ cắt nhau tại $Q.$ CMR các điểm $Q,\,N$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và bàng tiếp của tam giác $CMD.$
Bài 12. [Lào Cai] Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ với các đường cao $AD,\,BE,\,CF$ đồng quy tại $H.$ $AA'$ là đường kính của $(O).$ Các đường thẳng $A'B,\,A'C$ cắt $AC,\,AB$ lần lượt tại $M,\,N.$ Các điểm $P,\,Q$ thuộc đường thẳng $EF$ sao cho $PB,\,QC$ vuông góc $BC.$ Đường thẳng qua $A$ vuông góc $QN,\,PM$ lần lượt cát $(O)$ tại $X,\,Y.$ Hai tiếp tuyến tại $X,\,Y$ của $(O)$ cắt nhau tại $J.$
$\,a.\,$ Gọi $S$ là trung điểm $AH.$ CMR $SB\,//\,AY.$
$\,b.\,$ CMR $JA'\,\bot \,BC.$
Bài 13. [Hải Dương]
$\,a.\,$Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O),$ xét đường tròn $(O')$ tiếp xúc $AB,\,AC$ lần lượt tại $P,\,Q$ và tiếp xúc trong $(O)$ tại $S.$ Gọi $D$ là giao điểm $AS$ và $PQ.$ CMR $\frac{BP}{CQ}\,=\,\frac{BS}{CS}$ và $\angle BDP\,=\,\angle CDQ.$
$\,b.\,$ Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$ và $D_1,\,E_1$ là tiếp điểm của $(I)$ với $BC,\,CA.$ Lấy $D_2,\,E_2$ trên $BC,CA$ sao cho $BD_1\,=\,CD_2,AE_1\,=\,CE_2.$ Gọi $P$ là giao điểm $AD_1$ và $BE_2,$ $Q,\,R$ là giao điểm $AD_2$ và $(I),$($Q$ nằm giữa $A$ và $R$). CMR $AQ\,=\,D_2P.$
Bài 14. [Bắc Giang] Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ và $H$ là trực tâm. Gọi $M$ là điểm chính giữa cung $BHC$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHC.$ $BM$ cắt $AC$ tại $E,$ $CM$ cắt $AB$ tại $F.$ $AD$ là phân giác trong góc $BAC.$ Gọi $T$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF.$
$\,a.\,$ CM $TD\,\bot \,BC.$
$\,b.\,$ CM bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ bằng $OD.$
Bài 15. [Vĩnh Long] Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB\,>\,AC.$ Hai phân giác $BE,CF$ cắt nhau tại $I,$ đường thẳng qua $I$ vuông góc $EF$ theo thứ tự cắt $BC,EF$ tại $P,\,Q.$ Gọi $L$ là giao điểm $EF,BC;$ $R$ là giao điểm $PQ,AL.$ $H,D$ là giao điểm của $AI$ với $EF$ và $BC.$ Biết $IP\,=\,2IQ.$
$\,a.\,$ CM tam giác $LPR$ cân tại $L.$
$\,b.\,$ Tính số đo góc $BAC.$
Bài 16. [Bắc Ninh] Cho tam giác $ABC$ không cân có trực tâm $H$ và tâm ngoại tiếp $O,$ $D,\,E$ là chân đường cao hạ từ $A,\,B.$ $OD$ cắt $BE$ tại $K,$ $OE$ cắt $AD$ tại $L.$ Gọi $M$ là trung điểm $AB.$ CMR $K,\,L,\,M$ thẳng hàng khi và chỉ khi $ C,D,O,H$ đồng viên.
Bài 17. [Đà Nẵng-1]
$\,a.\,$ Cho tam giác $ABC$ có điểm $P$ thay đổi trên trung tuyến $AM.$ Gỉa sử $(APB)$ cắt $AC,\,BC$ tại $E,\,X.$ Còn $(APC)$ cắt $AB,\,BC$ tại $F,\,Y.$ $AM$ cắt lại $(AEF)$ tại $T,$ $EF$ cắt $BC$ tại $K.$ CMR $KT$ tiếp xúc $(AEF).$
$\,\b.\,$ Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân nội tiếp $(O)$ có đường cao $AD,$ trực tâm $H,$ $M$ là trung điểm $BC.$ Hạ $AG$ vuông góc $HM$ và lấy $L,P$ lần lượt là trung điểm $HG,\,AG.$ Lấy $K$ đối xứng $G$ qua $OL,$ trên $LK$ lấy $S$ sao cho $SD\,=\,SM.$ Gọ $T$ là giao điểm $GK$ và $BC.$ Lấy $X$ thuộc $MK$ để $XT$ vuông góc $ST.$ Lấy $Y$ đối xứng $X$ qua $T.$ CMR $KG,YD,MP$ đồng quy.
Bài 18. [Long An-1]
$\,a.\,$ Cho $A,\,B$ là hai điểm cố định, phân biệt. Điểm $M$ thay đổi sao cho $\frac{MA}{MB}\,=\,\frac{1}{2}.$ Điểm $M$ có thuộc một đường tròn cố định hay không?
$\,b.\,$ Cho $4$ điểm $A,B,C,D$ cố định, phân biệt, thẳng hàng theo thứ tự này và $AB\,\neq\,CD.$ Điểm $M$ thay đổi sao cho $\angle AMB\,=\,\angle CMD,$ $M$ không thuộc $AB.$ Điểm $M$ có thuộc một đường tròn cố định hay không? Vì sao?
Bài 19. [Long An-2] Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, không cân, $AB\,>\,AC.$ $A',B',C'$ lần lượt là trung điểm $BC,CA,AB.$ Hai điểm $P,P'$ phân biệt sao cho $PA\,=\,P'A',PB\,=\,P'B',PC\,=\,P'C',$ $G$ là trọng tâm tam giác $ABC,$ $E$ là tâm ngoại tiếp tam giác $A'B'C',$ $Q$ là ảnh của $P$ qua phép vị tự tâm $G,$ tỉ số $\frac{1}{2},$($P$ khác $G,$ $Q$ khác $P'.$) Đường thẳng $PP'$ cắt $GE$ tại $S,$ $G$ nằm giữa $S$ và $E.$ Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?\\
$a.\,$ $E$ nằm trên đường thẳng $QP'.$
$b.\,$ $G$ là trung điểm $SE.$
Bài 20. [Quảng Ninh]
Cho tam giác nhọn $ABC$ không cân, đường cao $AD,$ trực tâm $H.$ Dựng đường tròn tâm $M$ đường kính $BC.$ Từ $A$ kẻ các tiếp tuyến $AE,\,AF$ tới đường tròn $M,$($E,\,F$ là các tiếp điểm). Các đường thẳng $EF$ và $BC$ cắt nhau tại $N,$ $I$ là trung điêm $AH.$ Đường thẳng qua $D$ vuông góc $IM$ cắt các đường thẳng $AB,\,AC$ lần lượt tại $P$ và $Q.$ CM bốn điểm $M,N,P,Q$ đồng viên.
Bài 21. [KonTum] Cho đường tròn $(O,R)$ cố định, tam giác $ABC$ là tam giác nhọn thay đổi nội tiếp $(O).$
$\,1.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ${m^2}_a\,+\,{m^2}_b\,+\,{m^2}_c$ với $m_a,m_b,m_c$ là độ dài ba trung tuyến xuất phát từ $A,B,C$ của tam giác $ABC.$
$\,2.$ Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ và $M$ là trung điểm $BC.$ Điểm $P$ thuộc đường thẳng $HM$ sao cho $AP$ là phân giác trong góc $BAC.$ Đường thẳng $d$ qua $H$ vuông góc với $AP$ cắt các đường thẳng $AB,AC$ lần lượt tại $E,F.$ Gọi $N$ là giao điểm $AO$ và $EF.$ CMR $PH\,=\,PN$ và tứ giác $AEPF$ nội tiếp.
Bài 22. [Hải Phòng-1] Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I),$ $(I)$ tiếp xúc $BC$ tại $D.$ $AD$ cắt $(I)$ tại $P.$ $PB,PC$ cắt $(I)$ tại $N,M.$ CMR $BM,CN,DP$ đồng quy.
Bài 23. [Hải Phòng-2] Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I),$ $(I)$ tiếp xúc $BC, CA,AB $ tại $D,E,F.$ $AD$ cắt $(I)$ tại $Q.$ Tiếp tuyến tại $I$ cắt $EF$ tại $S.$
$\,a.\,$ CM $S,D,B,C$ thẳng hàng và tạo thành hàng điều hòa.
$\,b.\,$ Gọi $K,\,M $ là giao điểm các cặp đường $(DI,EF)$ và $(AK,BC).$ $CH$ vuông góc $AB$ tại $H.$ CMR $MH$ là tiếp tuyến $(SHD).$
Bài 24. [Quảng Ngãi-1] Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB<AC.$ $M$ là trung điểm $BC.$ Đường tròn nội tiếp $(I).$ Đường thẳng qua $A$ vuông góc $AI$ cắt tiếp tuyến vẽ từ $M$ của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$(Khác đường $BC$) tại điểm $P.$ Gọi $D$ là điểm tếp xúc của $BC$ với $(I).$\\
$\,a.$ Gọi $(Q)$ là đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABC.$ $BC$ tiếp xúc $(Q)$ tại $E.$ $D'$ đối xứng $D$ qua $I.$ CMR $A,E,D'$ thẳng hàng.
$\,b.$ CMR $AI$ tiếp xúc $(MIP).$
Bài 25. [Quảng Ngãi-2] Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O),$ một đường tròn $(I)$ bất kì qua $B,C$ cắt $AB,AC$ tại $E,D.$ $BD$ cắt $CE$ tại $F,$ $IG\,\bot\,AF,\,G\,\in\, AF.$
$\,a.\,$ CM $D,E,G,I$ đồng viên và $GA$ là phân giác góc $DGE.$
$\,b.\,$ $BD$ cắt $GE$ tại $H,$ $CE$ cắt $GD$ tại $K.$ $DE$ cắt $(O)$ tại $M,N.$ CMR $(GHK)$ tiếp xúc $(GMN).$
Bài 26. [Quang TrungBP-1] Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân, hai đường cao $AA_1,BB_1$ cắt nhau tại $H.$ Đường tròn $(ABC)$ cắt $(A_1B_1C)$ tại $N(\,\neq C).$ Gọi $M$ là turng điểm $AB,$ $K$ là giao điểm $CN$ và $AB.$ $CM$ cắt $(CA_1B_1)$ tại điểm thứ hai $P,$ cắt $(ABC)$ tại điểm thứ hai $Q.$
$\,a.\,$ CM $K,H,P$ thẳng hàng.
$\,b.\,$ $APBQ$ là hình bình hành.
Bài 27. [Quang TrungBP-2] Cho tam giác $ABC$ và $D$ là một điểm nằm trên cạnh $AC.$ Gọi $I_1,I_2$ là tâm các đường tròn nội tiếp tam giác $ABD$ và $BCD.$
$\,a.\,$ Gọi $R,S$ là các tiếp điểm của $(I_1)$ với $AB,AD.$ Gọi $E$ là trung điểm $AD,$ $K$ là giao điểm $BI_1$ với $RS.$ CM $ES\,=\,EK.$
$\,b.\,$ Đường tròn $(BI_1I_2)$ cắt $BA,BC$ tại $X,Y$ tương ứng. CM $AX\,+\,CD\,=\,CY\,+\,AD.$
Bài 28. [Quang TrungBP-3] Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O),$ $P$ bất kì trên đoạn $AO.$ $X,Y,Z$ lần lượt thuộc $BC,CA,AB$ sao cho $PX,PY,PZ$ lần lượt là phân giác các góc $BPC,CPA,APB.$ CMR $H,X,Y,Z$ đồng viên với $H$ là hình chiếu vuông góc $A$ lên $BC.$
Bài 29. [Quảng Ninh-2] Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O),$ các tiếp tuyến tại $B,C$ của $(O)$ cắt nhau tại $M.$ Các tiếp tuyến tại $A,C$ của $(O)$ cắt nhau tại $N,$ $AM$ và $BC$ cắt nhau tại $D,$ $BN$ và $CA$ cắt nhau tại $E.$ $I,J$ lần lượt la trung điểm $AD,BE.$
$\,a.\,$ CM $\angle ABI\,=\,\angle BAJ.$
$\,b.\,$ Tính tỉ số các cạnh tam giác $ABC$ để góc $ABI$ có số đo lớn nhất.
Bài 30. [Quảng Trị] Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB<AC,$ ba đường cao $AD, BE,CF $ đồng quy tại $H.$ $G$ là giao điểm $BH$ và $DF,$ $L$ là giao điểm $BC$ và $EF,$ $O$ là tâm ngoại tiếp tam giác $BCH,$ $K$ là trung điểm $BC.$ CM $H$ là trực tâm tam giác $AKL$ và $LG$ vuông góc $AO.$
Bài 31. [Bình Thuận] Cho tam giác nhọn $ABC$ có đường cao $AH,$ lấy điểm $P$ trong tam giác sao cho $\angle APB\,=\,\angle APC.$ Gọi $R,Q$ là điểm đối xứng của $P$ qua $AB,AC.$ Gỉa sứ $(APH)$ cắt $BC$ tại $T$($T$ không trùng $H.$) CMR $T,Q,R$ thẳng hàng.
Bài 32. [Gia Lai] Cho tam giác $ABC$ nhọn, hai điểm $M,N$ lần lượt nằm trên $AB,AC$ sao cho $BM\,=\,CN.$ Giả sử $(ABC)$ cắt $(AMN)$ tại $A$ và $K.$
$\,a.\,$ CMR $K$ là trung điểm cung $BAC$ của đường tròn $(ABC.)$
$\,b.\,$ Gọi $I,J$ lần lượt là tâm $(ABN)$ và $(ACM).$ CMR $A,K,I,J$ đồng viên.
Bài 33. [Quảng Trị] Cho đường tròn $(O)$ tiếp xúc $AB,AC$ tại $B,C.$ Đường thẳng $d$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $D,E.$ $(d)$ cắt đường tròn $(O)$ tại $P,Q.$ Đường thẳng qua $D$ song song $AC$ cắt $BC$ tại $M.$ Đường thẳng qua $E$ song song $AB$ cắt $BC$ tại $N.$
$\,a.\,$ CM $M,N,P,Q$ đồng viên.
$\,b.\,$ CM đường tròn $(MNPQ)$ tiếp xúc đường thẳng $DM.$
Bài 34. [Quảng Trị] Cho tam giác $ABC$ không cân, trên cạnh $BC$ lấy $D,E$ sao cho $\angle DAB\,=\,\angle EAC.$ Đường trung trực của $DE$ cắt $AB,AC$ tại $F,G.$ CMR hình chiếu của $F,G $ trên $AD,AE$ đồng viên.
Bài 35. [Chuyên ĐHSP Hà Nội] Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O),$ $(K)$ là đường tròn qua $B,C$ và không qua $A.$ $E,F$ là giao điểm thứ hai của $(K)$ và $AC,AB.$ $H$ là giao điểm $BE$ và $CF.$ CMR:
$\,a.\,$ Các đường tròn $(AEF), (BKE),(CKF)$ cùng đi qua một điểm thuộc $(O).$
$\,b.\,$ Tâm đường tròn $(KEF)$ thuộc $OH.$
Bài 36. [Ninh Bình] Cho tam giác $ABC$ có $AB\,<\,AC.$ Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F.$ Điểm $M$ di động trên đoạn $FD,$ đường thẳng qua $M$ song song $BC$ cắt $EF$ tại $K$ và cắt $DE$ tại $P.$ Kẻ tiếp tuyến $KH$ với $(MEF),$ $H$ là tiếp điểm. Đường trung trực $ME$ cắt $AI$ tại $N$ và $HD$ cắt $ME$ tại $G.$
$\,a.\,$ CM $F,G,P$ thẳng hàng.
$\,b.\,$ CM khi $M$ thay đổi trên $DF$ thì $GN$ luôn đi qua điểm cố định.
Bài 37. [Lào Cai] Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân. Đường tròn $(O)$ đi qua hai điểm $B,C$ cắt các cạnh $AB,AC$ tại $D,E.$ Giả sử $BE$ cắt $CD$ tại $I,$ gọi $M,N$ là trung điểm $BE,CD$ và $MN$ cắt $AB,AC$ tại $P,Q.$
$\,a.$ CMR $AI$ là đường đối trung tam giác $APQ.$
$\,b.$ CMR $(APQ)$ tiếp xúc đường tròn đường kính $IO.$
Bài 38. [Hướng tới VMO-N1] Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O).$ Trên $AB,AC$ lấy $X,Y$ sao cho $BX+CY=BC.$
Gọi $M,N$ là tâm bàng tiếp ứng với đỉnh $B,C$ của tam giác $ABC.$ Gọi $T$ là giao điểm $MX$ và $NY.$ $MN$ cắt lại 4(O)$ tại $P,$ $PT$ cắt lại $(O)$ tại $Q.$ CMR bốn điểm $X,Y,T,Q$ đồng viên.
Bài 39. [Cà Mau] Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp trong đường tròn $(O;R).$ Một đường thẳng $d$ thay đổi sao cho $d$ luôn vuông góc $OA$ và luôn cắt $AB,AC$ tại $M,N.$ Giả sử $BN$ và $CM$ cắt nhau tại $K$ và $AK,BC$ cắt nhau tại $P.$
$\,a.\,$ CMR đường tròn $(MNP)$ luôn đi qua điểm cố định khi $d$ thay đổi.
$\,b.\,$ Gọi $G$ là trực tâm tam giác $AMN.$ CMR $GK$ luôn đi qua trực tâm $H$ của tam giác $ABC.$
Bài 40. [Hướng tới VMO-N2] Cho đường tròn $(O)$ có dây $BC$ cố định, điểm $A$ di động trên $(O)$ sao cho $ABC$ nhọn không cân. Gọi $M$ là trung điểm $BC,$ $H$ là trực tâm tam giác $ABC.$ Gọi $R,S$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $AB,AC.$ Đường tròn $(ARS)$ cắt lại $(O)$ ở $T.$
$\,a.\,$ CMR $HT$ luôn đi qua điểm cố định.
$\,b.\,$ Gọi $KL$ là dây cung thuộc cung nhỏ $BC$ của đường tròn $(BHC)$ sao cho $A$ là trung điểm cung lớn $KL$ của đường tròn $(KTL).$ CMR $(KLM)$ chia đôi $AH.$
Còn nữa.....p~

ncthanh 21-09-2019 01:21 AM

Trích:

Nguyên văn bởi Hải Thụy (Post 214424)
MỘT SỐ CÂU HÌNH

Bài 2. [PTNK-1]Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ với $B,\,C$ cố định và $A$ thay đổi trên cung lớn $BC.$ Các đường tròn bàng tiếp góc $A,\,B,\,C$ lần lượt tiếp xúc $BC,\,CA,\,AB$ tại $D,\,E,\,F.$ \\
$\,a.\,$ Gọi $L$ là giao điểm thứ hai của $(ABE)$ và $(ACF).$ CMR $AL$ luôn đi qua một điểm cố định.\\
$\,b.\,$ $(BCF)$ cắt $(BAD)$ tại $M,\,B,$ $(CAD)$ cắt $(CBE)$ tại $N,\,C.$ Gọi $K,\,I,\,J$ lần lượt là trung điểm $AD,\,BE,\,CF.$ CMR $KL,\,IM,\,JN$ đồng quy.

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]


a) Ta thấy $L$ là tâm của phép vị tự quay biến $BF$ thành $CE$, mà $$BF=\dfrac{AB+AC-BC}{2}=CE.$$ Nên hai tam giác $LBF$ và $LEC$ bằng nhau. Kéo theo $LB=LE$, $LF=LC$ nên $AL$ là phân giác góc $BAC$, do đó nó đi qua trung điểm cung nhỏ $BC$ là một điểm cố định.


b) Vì $N$ và $L$ có vai trò tương tự nhau nên từ câu a) ta có $LB=LE$, $NB=NE$ nên $NL$ là trung trực của $BE$, suy ra $I$ thuộc $NL.$ Tương tự $LM$ đi qua $J$ và $MN$ đi qua $K.$

Ta có hai tam giác $LBE$ và $LFC$ đồng dạng có $LI$, $LJ$ là các đường cao tương ứng nên $$\dfrac{LI}{LJ}=\dfrac{BE}{CF}.$$
Và như vậy $$\dfrac{LI}{LJ}\cdot \dfrac{MJ}{MK} \cdot \dfrac{NK}{NI} = \dfrac{BE}{CF} \cdot \dfrac{CF}{AD} \cdot \dfrac{AD}{BE}=1.$$
Nên theo định lí Ceva, ta có $KL$, $MI$ và $NJ$ đồng quy.

Hải Thụy 21-09-2019 04:14 PM

[QUOTE=Hải Thụy;214419]
Các bài toán Giải Tích
1.[ TPHCM Ngày 1] Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $$u_1\,=\,\frac{-1}{3},\,u_{n+1}\,=\,\frac{u_n\,+\,1}{\sqrt{{u_n}^2 \,+\,1}}\,-\,1,\,n\,=\,1,2,3...$$ Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó.
2. [ Lam Sơn-Thanh Hóa]Cho dãy $(x_n)$ xác định bởi: $$x_1\,=\,\alpha,\,(\alpha \in\,\mathbb{R}),\,\,x_{n+1}\,=\,(1\,+\,\frac{1}{n +1}\,-\,\frac{2}{(n+1)^2})x_n\,+\,\frac{8}{(n+1)^2},\,\, \forall n\,\geqslant\,1.$$ Tìm số hạng tổng quát của dãy $(x_n),$ từ đó tìm $\alpha$ để dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn.

3. [Lam Sơn-Thanh Hóa] Tìm tất cả các hàm $f:\,\mathbb{R}\,\to\,\mathbb{R},$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa: $$f(xy)\,+\,f(x+y)\,=\,f(xy+x)\,+\,f(y).$$
4. [Sóc Trăng ngày 1]Cho dãy số $(u_n)$ thỏa: $$\left\{ \begin{gathered} {u_1}\, = \,2020 \hfill \\ 2020{u_{n + 1}}\, = \,2019{u_n}\, + \,u_n^2,\,\,\,\,\,\forall \,n\, \in \,{N^*} \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ Tính $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{u_k}}}{{{u_{k + 1}}\, - \,1}}.} $
5. [ Sóc Trăng ngày 2]Cho dãy số $(a_n)$ xác định như sau: $$\left\{ \begin{gathered} {a_1}\, = \,5,\,{a_2}\, = \,13 \hfill \\ {a_{n + 2}}\, = \,5{a_{n + 1}}\, - \,6{a_n},\,\,\,\,\,\forall \,n\, \in \,{N^*} \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ Chứng minh rằng với $k$ nguyên dương bất kì, nếu $p$ là một ước nguyên tố của $a_{2k}\,+\,2.6^k$ thì $p$ cũng là ước của $a_{2k+1}\,+\,5.6^k.$ 6. [Lào Cai] Cho $(a_n),\,(b_n)$ thỏa: $$a_0\,=\,1,\,a_1\,=\,\frac{1}{2},\,b_n\,=\,\frac{ 1}{3}\,+\,2a_{n+1},\,2b_{n+1}\,=\,2b_n\,-\,a_n.$$ Với mỗi $n\,\in \mathbb{N},$ đặt ${c_n}\, = \,\frac{1}{{{2^{n + 1}}}}\sum\limits_{i = 0}^n {\frac{{{b_i}}}{{{a_i}}}.} $ Tính lim$c_n.$
7. [Cần Thơ]Cho hàm số $f$ liên tục trên $[0;2020]$ thỏa $f(2020)\,=\,f(0)\,+\,2020,$ $f(1010)\,\ne f(0)\,+\,1010.$ Chứng minh rằng tồn tại $x_1,\,x_2\,\in\, (0;2020)$ mà $x_1\,\ne\,x_2$ sao cho $f(x_1)\,-\,x_1\,=\,f(x_2)\,-\,x_2.$
8. [PTNK] Số thực $\alpha$ được gọi là điểm tụ của dãy số $(u_n)$ nếu tồn tại ít nhất một dãy con của dãy $(u_n)$ hội tụ đến $\alpha.$ $\,(a)\,$ Hãy chỉ ra một dãy có vô hạn điểm tụ. $\,(b)\,$ CMR nếu mọi dãy con của dãy $(u_n)$ đều hội tụ thì dãy $(u_n)$ cũng hội tụ. $\,(c)\,$ Gọi $S$ là tập các số chính phương. Dãy số $(a_n)$ thỏa $a_n\,=\,\frac{1}{n}$ nếu $n\,\in \,S$ bỏ ${0}$ và $a_n\,=\,\frac{1}{n^2}$ nếu $n\,\notin \,S.$ Xét tính hội tụ của các dãy $(a_n),\,(b_n)$ với $b_n\, = \,\sum\limits_{i = 0}^n {{a_i}.}$ 9. [Bắc Giang]Tìm hàm số liên tục: $f:\,\mathbb{R}\,\to\,\mathbb{R}$ thỏa: $$f(x+y)f(x-y)\,=\,f^2(x)f^2(y)\,\,\,\,\,\forall x,\,y\,\in\,\mathbb{R}.$$
10. [KHTN] Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi: $$a_0\,=\,1,\,a_1\,=\,\frac{1}{2},\,a_{n+1}\,=\,\f rac{{a_n}^3}{2{a_{n-1}}^2-{a_n}^2}$$ với mọi $n\,\geqslant \,1.$ Đặt ${x_n}\, = \,\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{a_k}}}{{{2^k}}}.} $ CMR dãy $(x_n)$ hội tụ và tìm giới hạn đó.
11. [Hùng Vương-Bình Dương] Với mỗi $n\,\in\,\mathbb{N^*},$ đặt ${Q_n}(x)\, = \,\prod\limits_{i = 0}^n {(x - {i^2})} $ và kí hiệu ${Q'_n(x)}$ là đa thức đạo hàm của $Q_n(x).$ $\,1.\,$ Khi $n\,=\,2020$ thì đa thức $Q'_n(x)$ có bao nhiêu nghiệm thực? $\,2.\,$ CMR với mỗi $n$ nguyên dương, đa thức $Q'_n(x)$ có duy nhất một nghiệm thực $x_n$ thuộc $(0;1).$ $\,3.\,$ Tồn tại hay không giới hạn của dãy $(x_n)$ khi $n\,\to\,+\infty?$
12. [ĐH Vinh]Cho dãy $(x_n)$ xác định bởi: $$x_1\,=\,1,\,{x_{n + 1}}\, = \,\sqrt[3]{{8x_n^3\, + 12x_n^2 + 1}}$$ với mọi $n$ nguyên dương. Tính $\lim \frac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}.$ 13. [Amsterdam]Cho hàm số $y\,=\,x\,+\,\frac{1}{x}$ với $x\,>\,0$ có đồ thị $(C).$ Một đường thẳng đi qua điểm $A(0;1)$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M$ và $N.$ Các tiếp tuyến với $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M,\,N$ cắt nhau tại điểm $P.$ Tìm hoành độ điểm $P,$ và chứng minh rằng tung độ của điểm $P,$ kí hiệu $y_P$ thỏa $2\,<\,y_P\,<\,\frac{5}{2}.$
14. [Lâm Đồng] Cho số thực $a$ và dãy số thực $(u_n)$ thỏa: $$\left\{ \begin{gathered} {u_1}\, = \,a \hfill \\ {u_{n + 1}}\, = \,\ln (8\, + \,\cos {u_n}\, + \,\sin {u_n})\, + \,2019,\,\,\,\forall \,n\,=\,1,2,3...\,\,\, \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ CMR dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn.
15. [Đồng Tháp]Cho dãy số thực dương $(x_n)$ xác định bởi: ${x_n}\, = \,2(1\, - \,\frac{1}{{2{n^2}\, + \sqrt {4{n^4}\, + \,1} }})$ với mọi $n$ nguyên dương. Đặt ${S_n}\, = \,\sum\limits_{i = 1}^n {\sqrt {{x_i}} } \,(n\, \geqslant \,1).$ $\,a.\,$ Tính $S_{20}.$ $\,b.\,$ CMR tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $S_n$ nhận giá trị nguyên.
16. [Quảng Bình] Cho hai dãy số thực $(a_n),\,(b_n)$ thỏa mãn: $ \left\{ \begin{gathered} {a_1}\, = \,2 \hfill \\ {a_n}\, = \,2(n + {a_{n - 1}}),\,\forall \,n\, \geqslant 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ và $\left\{ \begin{gathered} {b_1}\, = \,2 \hfill \\ {b_n}\, = \,\frac{{n + 1}}{{n - 1}}({b_1} + \,{b_2}\, + ... + \,{b_{n - 1}}),\,\forall \,n\, \geqslant 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\,a.\,$ CMR $a_n\,<\,2^{n+2}$ với mọi $n$ nguyên dương.\\ $\,b.\,$ Tính giới hạn: $\lim \frac{{2({b_n} + n + 2) + {a_n}}}{{{6^n}}}.$
17. [Hà Tĩnh] Cho các dãy số $(u_n),\,(v_n)$ thỏa: $lim(u_n)^n\,=\,2,\,lim(v_n)^n\,=3;\,u_n,\,v_n\,\n eq \,1$ với mọi $n.$ $\,a.\,$ CMR lim$u_n\,=\,1.$ $\,b.\,$ Tìm lim$(\frac{2u_n+3v_n}{5})^n.$
18. [Hà Nam]
Cho hai số thực $a,\,b\,\in\,(0,1)$ và dãy số $(x_n)$ thỏa : $$x_1\,=\,a,\,x_2\,=\,b,\,{x_{n + 2}}\, = \,\frac{1}{4}x_{n + 1}^2\, + \,\frac{3}{4}\sqrt {{x_n}} \,,\,\forall \,n\, \geqslant 1.$$ CMR dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính lim$x_n.$

19. [Phú Thọ] Có tồn tại hay không hàm $f(x)$ gián đoạn tại mọi điểm thuộc $\mathbb R$ còn $f(x)^2$ liên tục trên $\mathbb R$.
20. [KHTNHN-3] Cho dãy số $(a_n)$ thỏa mãn:
$a_1\,=\,\frac{2}{3},\,a_{n+1}\,=\,\frac{{a_n}^2\, +\,(n-1)a_n\,+\,2}{n+1}$ với mọi $n$ nguyên dương.
$\,a.\,$ CMR $(a_n)$ bị chặn.
$\,b.\,$ CM $(a_n)$ hội tụ và tìm giới hạn.
21. [Vĩnh Long] Cho dãy số $(a_n)$ thỏa $a_1\,=\,2$ và $(4-a_n)(6+a_{n-1})\,=\,24$ với mọi $n$ nguyên dương lớn hơn hoặc bằng $2.$
$\,a.\,$ CMR $a_n$ khác $0$ với mọi $n\,\in\,\mathbb{N^*}.$
$\,b.\,$ Tính $S_{2020}\,=\,\frac{1}{a_1}\,+\,\frac{1}{a_2}\,+.. .\,+\frac{1}{a_{2020}}.$
22. [Bắc Ninh] Cho hai dãy số $(u_n)$ và $(v_n)$ thỏa $u_0\,=\,a, v_0\,=\,b$ với $a,b$ là hai hằng số thực cho trước thỏa $0\,<\,a\,<\,b$ và $u_{n+1}\,=\,\frac{u_n+v_n}{2}$ và $v_{n+1}\,=\,\sqrt{u_{n+1}.v_n}$ với mọi số tự nhiên $n.$
$\,a.\,$ Chứng tỏ hai dãy đã cho đều hội tụ và có giới hạn bằng nhau.
$\,b.\,$ Tìm giới hạn đó theo $a,b.$
23. Đà Nẵng]
$\,a.\,$ CMR dãy số $(x_n)$ thỏa mãn $x_n\,\in\,[0;n]$ và ${x_n}^n\,=\,e^{x_n}$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
$\,b.\,$ CMR dãy số $(a_n)$ thỏa mãn $a_1\,=\,a$ và $a_{n+1}\,=\,{a_n}^2\,-\,6.$ Xác định tất cả giá trị của $a$ để dãy này tuần hoàn.
24. Hải Dương] Cho dãy số $(x_n)$ thỏa $x_1\,=\,2019,$ $x_{n+1}\,=\,1\,+\,ln{\frac{x_n.({x_n}^2+3)}{3{x_n }^2+1}}.$ CM dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
25. [KonTum-1]Cho dãy số $(a_n)$ thỏa: $a_1\,=\,2019,\,a_{n+1}\,=\,\frac{{a_n}^2}{{a_n}^2 \,-\,a_n\,+\,1},\,n\,\in\,\mathbb{N^*}.$
$\,1.\,$ CM dãy $(a_n)$ là một dãy số giảm và bị chặn dưới. Tính giới hạn lim$a_n.$
$\,2.\,$ Tính giới hạn dãy số $(S_n)$ với $S_n\,=\,\sum\limits_{i = 1}^n {a_i}.$
26. [SGDĐT Thanh Hóa] Với mỗi số thực $a$ xét dãy số $(u_n)$ xác định bởi:
$$\left\{ \begin{gathered}
{u_1}\, = \,a \hfill \\
{u_{n + 1}}\, = \,3{u^3}_n\, - \,7{u^2}_n\, + \,5{u_n}\,,\,\forall \,n\, \in \,\mathbb{N^*}\, \hfill \\
\end{gathered} \right.$$
Tìm tất cả giá trị $a$ để dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn khi $n$ tiến ra dương vô cực, và tìm giới hạn trong mỗi trường hợp đó.
27. [Quảng Ninh] Cho dãy số $(u_n)$ thỏa: $u_1\,=\,2019,\,u_{n+1}\,=\,\frac{1}{u_1+u_2+...+u _n}$với $n$ nguyên dương. CMR tồn tại $N$ nguyên dương sao cho:
$$u_1\,+\,u_2\,+\,...\,+\,u_N\,>\,2020.$$
28. [Hải Phòng-1] Cho dãy số $(u_n)$ thỏa: $u_1\,=\,2019,\,u_{n+1}\,=\,\sqrt{{u_n}^2\,-\,u_n\,+\,1\,+\,\frac{1}{n+1}}.$ CM dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
29. [Đồng Nai]Cho hàm số $$f(x)\, = \,\left\{ \begin{gathered}
0\,,\,0\, \leqslant \,x\, < \,a \hfill \\
1\, - \,{[\sqrt {ax} \, + \,\sqrt {(1 - a)(1 - x)} ]^2}\,,\,a\, \leqslant x\, \leqslant \,1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$
Ở đây $a$ là số thực $0\,<\,a\,<\,1.$ Cho dãy số $u_n$ xác định bởi : $u_1\,=\,1,\,u_n\,=\,f(u_{n-1})$ với mọi $n$ nguyên dương lớn hơn $1.$ CMR tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $u_k\,=\,0.$\
30. [Lào Cai] Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1\,=\,2019,\,u_{n+1}\,=\,(\sqrt{n^2+n}-n)(u_n+1)$ với mọi $n$ nguyên dương.
CMR dãy số trên có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
31. [Thanh Hóa-2] Cho $p>0,\,q>0,\,p+q=1$ và dãy $(a_n)$ không âm thỏa $a_{n+1}\,\leqslant \,pa_{n+1}+qa_n,\,n\,\in\,\mathbb{N^*}.$
CMR dãy $(a_n)$ có giới hạn và tìm giới hạn đó.
32. [Tiền Giang] Có tồn tại hay không hàm $f:\,\mathbb{R}\,\to \,\mathbb{R}$ liên tục trên $\mathbb{R}$ sao cho phương trình $f(x)\,=\,a$ có $2$ nghiệm thực phân biệt với mọi $a\,\in\,\mathbb{R}.$
33. [Vĩnh Phúc]
Cho dãy số $(x_n)$ được xác định bởi $x_1\,=\,1,\,x_{n+1}\,=\,\frac{x_n+2}{x_n+3}\,\,\f orall n\,\in \mathbb{N^*}.$ CMR dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
34. [Thái Bình] Cho dãy số thực $(u_n)$ xác định bởi: $u_1\,=\,1,\,u_{n+1}\,=\,u_n\,+\,\frac{1}{2u_n}$ với mọi $n$ nguyên dương.
$\,1.\,$ Tính $lim\frac{u_n}{\sqrt{n}}.$
$\,2.\,$ Tính $[u_{2019}}.$( Ở đây $[x]$ kí hiệu số nguyên lớn nhất không vượt quá $x.$)
35. [Phú Yên] Cho $a\,\in\,\mathbb{R},$ xét dãy số $(u_n)$ được xác định bởi: $u_0\,=\,a,\,u_{n+1}\,=\,|u_n\,-\,2^{-n}|,\,n\,=\,0,1,2...$
Với giá trị nào của $a$ thì dãy có giới hạn hữu hạn, hãy tìm các giới hạn đó.
36. [Vũng Tàu] Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_1\,=\,1,\,a_2\,=\,2,\,a_{n+2}\,=\,\frac{{a_{n+1 }}^2+3}{a_n}$ với mọi $n$ nguyên dương.
$\,a.\,$ CMR ${a_{n+1}}^2\,+\,{a_n}^2\,-\,4a_{n+1}a_n\,=\,-3$ và $\frac{{a_n}^2-1}{3}$ là số chính phương với mọi $n$ nguyên dương.
$\,b.\,$ Với mỗi số nguyên dương $b_n,$ đặt ${b_n}\, = \,\prod\limits_{i = 1}^n {(\frac{3}{{a_i^2}}\, + \,1)} .$ Tính $\lim {b_n}.$
37. [Lào Cai] Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi: $a_1\,=\,1,\,4a_{n+1}-2a_n\,=\,\sqrt{{a_n}^2+12}$ với mọi $n$ nguyên dương.
$\,1.\,$ CMR $0\,<\,a_n\,<\,2\,\,\forall n\,\geqslant\,1.$
$\,2.\,$ Xét dãy số $(b_n)$ xác định bởi : $b_1\,>\,0,\,b_{n+1}\,=\,\sqrt{a_n\,+\,b_n}.$ CMR dãy số $(b_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Le khanhsy 22-09-2019 08:57 AM

[QUOTE=Hải Thụy;214426]
Trích:

Nguyên văn bởi Hải Thụy (Post 214419)
Các bài toán Giải Tích
1.[ TPHCM Ngày 1] Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $$u_1\,=\,\frac{-1}{3},\,u_{n+1}\,=\,\frac{u_n\,+\,1}{\sqrt{{u_n}^2 \,+\,1}}\,-\,1,\,n\,=\,1,2,3...$$ Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Ta sẽ chứng minh $u_n\ge -1$.
Kiểm tra $u_1$, giả sử $u_k> -1.$ Tiếp tục kiểm tra bước $u_{k+1}$ , hay là
$$u_{k+1}=\dfrac{u_k+1}{\sqrt{u_k^2+1}}-1> -1.$$
$$u_{n+1}+1=\dfrac{u_n+1}{\sqrt{u_n^2+1}}\le u_n+1\le \cdots\le u_1+1=\dfrac{2}{3}\rightarrow U_{n}\le -\dfrac{1}{3}.$$
Vậy nên ta được $-1< u_n\le -\dfrac{1}{3}.$ Vì dãy số trên bị chăn nên giả sử giới hạn là $\lim u_n=c$. Khi đó $c$ là nghiệm của phương trình
$$c+1=\dfrac{c+1}{\sqrt{c^2+1}}\Rightarrow c=\left\{-1,0\right\}$$
So sánh điệu kiền ta có ngay $\lim u_n=-1$

Le khanhsy 22-09-2019 09:01 AM

Trích:

Nguyên văn bởi Hải Thụy (Post 214419)
Các bài toán Giải Tích
14. [Lâm Đồng] Cho số thực $a$ và dãy số thực $(u_n)$ thỏa: $$\left\{ \begin{gathered} {u_1}\, = \,a \hfill \\ {u_{n + 1}}\, = \,\ln (8\, + \,\cos {u_n}\, + \,\sin {u_n})\, + \,2019,\,\,\,\forall \,n\,=\,1,2,3...\,\,\, \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ CMR dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn.

Viết dãy số về dạng $u_{n+1}=f(u_n)$. Khi đó ta có
$$f'(x):=\dfrac{cosx-sinx}{sinx+cosx+8}.$$
Theo phương pháp điều kiện có nghiệm của dạng $a sin x+b cosx=c$
chúng ta có ngay $$-\dfrac{1}{\sqrt{31}}\le f'(x)\le \dfrac{1}{\sqrt{31}}.$$
Điều này chứng tỏ rằng $h(x):=f(x)-2000x=0,$
nếu có nghiệm nghiệm thì có cao nhất 1 nghiệm, ngoài tính liên tục. Lại có $h(1).h(2)<0$ nên có thể giả sử rằng $f(m)=2000m,\ m\in(1;2)$. Áp dụng định lý lagrange suy ra
$$|f(x)-f(y)|=|f'(c)||x-y|\le \dfrac{|x-y|}{\sqrt{31}}.$$
Suy ra
$$|u_{n+1}-2000m|=|f(u_n)-f(m)|\le \dfrac{1}{\sqrt{31}}|u_{n}-2000m|\le ..... \le \left(\dfrac{1}{\sqrt{31}}\right)^n|a-2000m|.$$
Chúng ta lại có
$$\lim \left(\dfrac{1}{\sqrt{31}}\right)^n|a-2000m|=0.$$
Vậy nên ta được điều phải chứng minh.

Le khanhsy 24-09-2019 01:45 PM

Trích:

Bình Phước
Cho các số thực dương $a,b,c$. Biết rằng $a=\max\{a,b,c\}.$ Chứng minh rằng
$$\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\dfrac{11}{2}\left(\sqrt{ \dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}} \right)+2\sqrt{\dfrac{a+7(b+c)}{a}}>\dfrac{15}{2}. $$
Chúng ta sẽ chứng minh
$$\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge \sqrt{\dfrac{b+c}{a}}.$$
Áp dụng Holder, ta có
$$\left(\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b} } \right)^2\left[b^2(c+a)+c^2(a+b) \right]\ge (b+c)^3.$$
Do đó ta cần chứng minh
$$a(b+c)^3\ge (b+c)\left[b^2(c+a)+c^2(a+b) \right]=bc(b+c)(2a-b-c)\ge 0.$$
Do đó ta có
$$f(a,b,c)\ge x+\dfrac{11}{2x}+\dfrac{2\sqrt{x^2+7}}{x} ,\,\ x\ge \sqrt{2}/2$$
Lại có
$$\sqrt{x^2+7}\ge \dfrac{3x+7}{4}.$$
Vậy nên
$$f(a,b,c)\ge x+\dfrac{9}{x}+\dfrac{3}{2}\ge \dfrac{15}{2}.$$
Dấu bằng không xảy ra và có điểm nhạy cảm là $(9t,t,0)$

Le khanhsy 25-09-2019 09:20 AM

Trích:

Bình Phước
Cho các số thực không âm và không có 2 biến nào đồng thời bằng không. Biết rằng $a=\max\{a,b,c\}.$ Chứng minh rằng
$$\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\dfrac{11}{2}\left(\sqrt{ \dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}} \right)+2\sqrt{\dfrac{a+7(b+c)}{a}}>\dfrac{15}{2}. $$
Ta có
$$\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge \sqrt{\dfrac{b^2}{ac+ba}}+\sqrt{\dfrac{c^2}{ca+ba} }=\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}.$$
Do đó ta có
$$f(a,b,c)\ge x+\dfrac{11}{2x}+\dfrac{2\sqrt{x^2+7}}{x} ,\,\ x\ge \sqrt{2}/2$$
Lại có
$$\sqrt{x^2+7}\ge \dfrac{9x+7}{4}.$$
Vậy nên
$$f(a,b,c)\ge x+\dfrac{9}{x}+\dfrac{3}{2}\ge \dfrac{15}{2}.$$
Dấu bằng không xảy ra.

Le khanhsy 26-09-2019 02:53 PM

Trích:

Nguyên văn bởi KHTNHN 2019
Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng
$$\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfra c{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)+6\left(ab+bc+ca\right) \ge 9\left(a^2+b^2+c^2\right)$$

Viết lại bất đẳng thức như sau
$$\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfra c{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)-3\left(ab+bc+ca\right) \ge \dfrac{9}{2}\displaystyle\sum_{\text{cyc}}(a-b)^2,$$
$$\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)(a+b+c)}{abc}\sum_{\ text{cyc}}(a-b)^2\ge 9\displaystyle\sum_{\text{cyc}}(a-b)^2,$$
hay
$$\left[\left(ab+bc+ca\right)(a+b+c)-9abc\right]\displaystyle\sum_{\text{cyc}}(a-b)^2\ge 0. $$
Hiển nhiên đúng theo AM-GM.

Hải Thụy 26-09-2019 07:34 PM

MỘT SỐ CÂU TỔ HỢP

1.[Vĩnh Long]Cho $A$ là tập con của tập $X\,=\{1,2,3,...,10000\}$ sao cho nếu $a,\,b$ thuộc $A$ thì $ab$ không thuộc $A.$ Tìm số phần tử lớn nhất của tập $A.$
2.[Yên Bái-2] Cho tập $X$ gồm $15$ số nguyên dương phân biệt. Với mỗi tập con $A$ của $X$ ta kí hiệu $|A|$ là số phần tử của $A$ và $S_A$ là tổng các phần tử của $A.$ CMR tồn tại hai tập con $A,\,B$ khác rỗng của $X$ thỏa ba điều kiện sau:
$\,1.$ $|A|\,=\,|B|\,\leqslant\,6.$
$\,2.$ $A$ giao $B$ là rỗng.
$\,3.$ $S_A\,-\,S_B$ chia hết cho $5000.$
3.[Đắc Lắc] Cho $M$ là tập $n$ điểm trong mặt phẳng thỏa mãn hai điều kiện:
$\,1.\,$ Tồn tại $7$ điểm thuộc $M$ là các đỉnh của một thất giác lồi.
$\,2.\,$ Với $5$ điểm bất kì thuộc $M$ là các đỉnh của một ngũ giác lồi, tồn tại một điểm thuộc $M$ nằm ở miền trong ngũ giác lồi đó.
Tìm giá trị nhỏ nhất của $n.$
4.[Đà Nẵng] Có $2019$ máy tính mà trong đó một số máy được nối với nhau. Biết rằng $2$ máy bất kì thì có đúng một máy nối với cả hai máy đó. Máy được nối đến nhiều máy nhất sẽ là máy chủ. Hỏi số máy được nối với máy chủ ít nhất là bao nhiêu?
5.[Long An]Cho $a_1,\,a_2,\,...,a_{2019}$ là $2019$ số thực bất kì. Có tồn tại số thực $x$ sao cho $a_1+x,a_2+x,...,a_{2019}+x$ đều là số vô tỉ hay không? Vì sao?
6.[Quang Trung]Trong một trận đấu võ thuật, mỗi võ sĩ thi đấu với một võ sĩ khác đúng một trận. Mỗi trận đấu được điều khiển bởi một trọng tài. Sau khi giải đấu kết thúc người ta nhận thấy rằng mỗi trọng tài đều điều khiển ít nhất một trận đấu và không có hai trọng tài nào điều khiển số trận đấu bằng nhau. Võ sĩ Bắc nói rằng:"Mỗi trận đấu của anh ta được điều khiển bởi một trọng tài khác nhau. Các võ sĩ Trung và Nam cũng khẳng định y hệt như vậy. Hỏi có khi nào cả ba võ sĩ đều đúng.
7.[Quảng Ngãi]
$\,a.\,$ Có thể đánh số các ô vuông của một bảng ô vuông $4*4$ bởi các số tự nhiên từ $1$ đến $16$ (Mỗi ô chỉ viết một số, mỗi số chỉ viết một lần) sao cho tổng $4$ số ở mọi phần của bảng ô vuông có dạng hình chữ $T$ dưới đây (Có thể xoay về mọi phía) đều chia hết cho $4$ hay không?
$\,b.\,$ Cho tập hơp gồm $2019$ phần tử sau $\{ 1,2,3,...,2019\}.$ Cần loại bỏ ít nhất bao nhiêu phần tử khỏi tập hợp trên sao cho tập hợp gồm các phần tử còn lại có tính chất: Với ba phần tử bất kì, không có phần tử nào bằng tích hai phần tử còn lại?\\
8.[Hải Phòng-Vòng 1]
Một phòng có $n$ người ($n\,\geqslant\,2$) Cứ hai người bất kì thì quen nhau hoặc không quen nhau. Biết rằng:
$\,1.$ Một người quen đúng $30$ người khác.
$\,2.$ Một cặp quen nhau thì có đúng $19$ người khác quen với cả hai người đó.
$\,3.$ Một cặp không quen nhau thì có đúng $20$ người khác quen với cả hai người đó.
Tìm $n.$
9.[Hải Phòng-Vòng 2]
Một dãy ô vuông có $100$ ô. Điền vào mỗi ô các chữ số $2,\,1,\,0,\,9.$ Hỏi có bao nhiêu cách điền mà tổng các số trên $100$ ô chia hết cho $4.$
10.[Đồng Nai]
Cho $P$ là tập gồm $n\,+\,1$ số thưc với $n\,\geqslant\,2,\,n\,\in\,\mathbb{N}.$ Hai bộ sắp thứ tự gồm $n$ phần tử phân biệt $(a_1,\,a_2,\,...,a_n)$ và $(b_1,\,b_2,...,b_n)$ của $P$ được gọi là lệch nhau nếu tồn tại hai chỉ số $i,\,j$ khác nhau sao cho $a_i\,=\,b_j.$ Gọi $S(n)$ là tập hợp các bộ sắp thứ tự gồm $n$ phần tử phân biệt của $P$ sao cho hai bộ bất kì đều lệch nhau.
$\,a.$ Tìm số phần tử lớn nhất của $S(2).$
$\,b.$ Tìm số phần tử lớn nhất của $S(2019).$
11.[ĐH Vinh]
Có $16$ học sinh tham gia làm một bài thi trắc nghiệm. Đề thi chung cho tất cả học sinh và có $n$ câu hỏi. Mỗi câu hỏi có $4$ phương án trả lời. Sau khi thi xong, thầy giáo nhận thấy với mỗi câu hỏi, mỗi học sinh chọn đúng một phương án trả lời và hai học sinh bất kì có nhiều nhất một câu hỏi có phương án trả lời giống nhau.
$\,a.\,$ Với $n\,=\,2,$ hãy chỉ ra một ví dụ về phương án trả lời của $16$ học sinh.
$\,b.\,$ CMR $n\,\leqslant\,5.$
12.[Bắc Ninh]
Cho một đa giác đều $A_1A_2...A_{20},$ có $10$ đỉnh của đa giác được tô màu xanh, $10$ đỉnh còn lại được tô màu đỏ. Ta nối các đỉnh với nhau.
$\,a.$ Gọi $a$ là số đọạn thẳng nối hai đỉnh màu đỏ liên tiếp, $b$ là số đoạn thẳng nối hai đỉnh màu xanh liên tiếp. CMR $a\,=\,b.$
$\,b.$ Xét tập hợp $S$ gồm đường chéo $A_1A_4$ và tất cả các đường chéo khác của đa giác mà có cùng độ dài với nó. CM trong tập hợp đó, số đường chéo có hai đầu là màu đỏ bằng số đường chéo có hai đầu là màu xanh. Gọi $k$ là số đường chéo có hai đầu màu xanh trong $S.$ Tìm tất cả các giá trị có thể có của $k.$
13.[Yên Bái-1]
Từ các chữ số $1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $12$ chữ số thỏa mãn điều kiện trong mỗi số đó, mỗi chữ số có mặt đúng $2$ lần và hai chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau.
14.[Đà Nẵng-2]
Tô màu mỗi ô vuông của bàn cờ $50*50$ bởi $n$ màu mà màu nào cũng được sử dụng. Một con mã đi từ ô ở vị trí $(1;1)$ đến ô ở vị trí $(50;50)$(đi như luật cờ vua). Một đường đi tốt là đường đi không đi qua đủ tất cả $n$ màu. Tìm $n$ nhỏ nhất để với mọi cách tô bằng $n$ màu thì luôn có đường đi tốt.
15.[Vĩnh Long-2]
Cho tứ giác lồi $ABCD.$ Trên các cạnh $AB,BC,CD,DA$ lần lượt lấy $3,4,5,6$ điểm phân biệt khác các điểm $A,B,C,D.$ Tìm số tam giác có các đỉnh là các điểm vừa lấy.
16.[Hải Dương]
Gọi $T$ là tập hợp tất cả các ước số nguyên dương của $n\,=\,2004^{2010}.$ Gỉa sử $S$ là tập con khác rỗng bất kì của $T$ thỏa mãn điều kiện: Với mọi $a,\,b$ thuộc $S$ mà $a\,>\,b$ thì $a$ không chia hết cho $b.$ Tìm số phần tử lớn nhất của tập $S.$
17.[Bình Dương]
Cho tập hợp $T$ gồm $2020$ số nguyên dương đầu tiên.
$\,a.\,$ Gọi $A$ là một tập con của tập $T$ thỏa: Nếu $a,\,b,\,c$ thuộc $A$ và $a<b<c$ thì $a,\,b,\,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Hỏi tập $A$ có nhiều nhất bao nhiêu phần tử.
$\,b.\,$ Gọi $X$ là một tập con của tập $T$ thỏa: Nếu $x,\,y\,\in\,X,\,x\,\neq\, y$ thì có đúng một tam giác cân(không đều) xác định bởi độ dài các cạnh là $x,\,y.$ Tìm giá trị lớn nhất của $|X|.$
18.[KHTNHN-3]
Cho các số nguyên dương $k,\,m,\,n$ sao cho $k\,<\,n$ và ${2^n}\, \geqslant \,m\, > \,\sum\limits_{i = 0}^k {C_n^i} .$ Xét $m$ tập con phân biệt của $n$ số nguyên dương đầu tiên là $S_1,\,S_2,\,...,S_m.$ CMR tồn tại tập hợp $T$ có $k+1$ phần tử sao cho với mọi tập con $S$ của $T,$ tồn tại chỉ số $1\,\leqslant\,i\,\leqslant\,m$ mà $S\, = \,{S_i}\, \cap \,T.$
19.[KHTNHN-2]
Cho một nhóm người bất kì thỏa mãn nếu hai người không quen nhau thì có đúng hai người quen chung, nếu hai người quen nhau thì không có người quen chung nào. CMR số người quen của mỗi người là như nhau.
20.[Phú Thọ]}
Cho hai số nguyên dương $k,\,n(k\,<\,n).$ Xét bảng hình chữ nhật kích thước $2\,*\,n$ chứa các ô vuông. Tìm số cách chọn $k$ ô vuông sao cho không có hai ô vuông nào có đỉnh trùng nhau.
21.[Hà Tĩnh]
Cho một số viên bi có khối lượng khác nhau đôi một và một cái cân thăng bằng. Biết rằng chiếc cân này không cho phép đo chính xác khối lượng của viên bi mà mỗi lần cân chỉ cho phép so sánh khối lương hai viên bi bất kì. Mục tiêu cuối cùng là có thể sắp xếp các viên bi này theo thứ tự khối lượng tăng dần bằng một số lần cân hữu hạn.
$\,a.\,$ CMR với $4$ viên bi bất kì thì chỉ cần sử dụng $5$ lần cân.
$\,b.\,$ CMR với $2^n$ viên bi bất kì thì chỉ cần sử dụng $(n-1)2^n\,+\,1$ lần cân($n\,=\,2,3,...$).
22.[Hà Nam]
Trên các cạnh của một tam giác ta thực hiện đánh số từ các số thuộc tập hợp $\{1,2,3,...,9\}$ sao cho mỗi đỉnh được đánh một số, trên mỗi cạnh, trừ đỉnh được đánh hai số thỏa mãn:
$\,i)\,$ Mỗi số chỉ đánh một lần.
$\,ii)\,$ Tổng của bốn số ở mỗi cạnh tam giác bằng nhau.
$\,iii)\,$ Tổng bình phương bốn số trên mỗi cạnh tam giác là bằng nhau.
Tìm tất cả các cách đánh số thỏa mãn yêu cầu trên.
23.[Tây Ninh-1]
Có $n$ người ngồi thành một hàng ngang vào $n$ chiếc ghế. Người ta lập hàng mới cho $n$ người này bằng cách(vẫn ngồi vào $n$ ghế nêu trên): Mỗi người hoặc giữ nguyên vị trí của mình, hoặc đổi chỗ cho người liền bên trái, hoặc đổi chỗ cho người liền bên phải.
$\,a.\,$ Với $n\,=\,5,$ hỏi có bao nhiêu cách lập hàng mới cho $5$ người.
$\,b.\,$ Có bao nhiêu cách lập hàng mới cho $n$ người, $n$ nguyên dương.
24.[Thanh Hóa-1]
Một cuộc thi đấu của các cặp đôi được tổ chức như sau: Mỗi đấu thủ có thể thi đấu cho $1$ hoặc $2$ cặp. Hai cặp bất kì có thể thi đấu với nhau nhiều nhất là một trận, nhưng nếu hai cặp nào có cầu thủ chung thì không thể thi đấu với nhau. Cho tập hợp $S\,=\,\{6,12,18,24\}.$ Hãy tìm số lượng bé nhất các đấu thủ để trong cuộc thi đấu này, người ta có thể sắp xếp các đấu thủ theo cặp và tham gia cuộc thi thỏa mãn hai điều kiện sau:
$\,i.\,$ Số trận đấu mà mỗi đấu thủ tham gia phải là một trong các số $a$ thuộc tập $S.$
$\,ii.\,$ Với mọi số $b$ thuộc tập $S$ cho trước, có thể tìm được ít nhất một đấu thủ đã tham gia đúng $b$ trận đấu.
25.[Bắc Giang]
Người ta dùng $4$ màu để tô các đỉnh của một đa giác lồi $2019$ cạnh sao cho mỗi đỉnh tô một màu và hai đỉnh kề nhau tô bởi hai màu khác nhau. Hai cách tô màu được coi là khác nhau nếu tồn tại một đỉnh của đa giác đó có màu được tô khác nhau trong hai cách. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tô màu?
26.[TPHCM]
Với $n$ là số nguyên dương, hỏi có bao nhiêu hoán vị $(a_1,\,a_2,\,...,a_n)$ của $n$ số nguyên dương đầu tiên sao cho $a_i\,-\,1\,\leqslant\,a_{i+1}$ với mọi $1\,\leqslant\,i\,\leqslant\,n-1.$
27.[Khánh Hòa]
Một nhóm phượt thủ có $n$ thành viên. Năm $2018$ họ thực hiện $6$ chuyến du lịch mà mỗi chuyến có đúng $5$ thành viên tham gia. Biết rằng hai chuyến du lịch bất kì chung nhau không quá hai thành viên. Tìm giá trị nhỏ nhất của $n.$\\
28.[Huỳnh Mẫn Đạt-Kiên Giang]
Cho $2019$ số nguyên khác $0,$ thỏa mãn điều kiện: tổng của một số tùy ý trong chúng với tích của $2018$ số còn lại là một số âm. Phân chia $2019$ số đó, một cách tùy ý, thành hai nhóm, với mỗi nhóm tính tích tất cả các số thuộc nhóm ấy. CMR tổng của hai tich thu được là một số âm.
29.[Sóc Trăng]
$\,a.\,$ Một lớp học có $35$ học sinh được xếp thành hàng ngang. GV phụ trách lớp cần chọn $5$ đội để tham gia một trò chơi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn biết rằng mỗi đội gồm $3$ học sinh đứng liền kề nhau trong hàng ngang ban đầu.
$\,b.\,$ Có $12$ học sinh được xếp thành hàng ngang. GV phụ trách cần chia các học sinh trên thành các nhóm sao cho
mỗi nhóm là $1$ hoặc $2$ học sinh đứng liền kề nhau trong hàng ban đầu. Hỏi có bao nhiêu cách chia nhóm ?
30.[Lào Cai]
Một cuộc thi toán gồm $2$ vòng, vòng $1$ và vòng $2$ với tổng cộng $28$ bài toán. Mỗi thí sinh giải được đúng $7$ bài và số thí sinh giải được mỗi bài là như nhau. Với hai bài toán bất kì, có đúng hai thí sinh giải được cả hai bài đó.
$\,a.\,$ Hỏi có tất cả bao nhiêu thí sinh tham dự cuộc thi.
$\,b.\,$ CMR ở vòng $1$ có một thí sinh hoặc không giải được bài nào hoặc giải được ít nhất $4$ bài.
31. [Quảng Ninh] Cho số nguyên dương $n\,\geqslant \,2.$ Tìm số tập con của $S_n\,=\,\{1,2,3,...,n\}$ chứa đúng hai số nguyên dương liên tiếp.
32. [Bà Rịa- Vũng Tàu] CMR với mọi tập hơp $S$ gồm $2019$ số nguyên dương, ta luôn tìm được một hoán vị $a_1,\,a_2,\,...,\,a_{2019}$ của các số $1,2,...,2019$ sao cho tập hợp $\{a_1,\,a_1+a_2,a_1+a_2+a_3,...,a_1+a_2+...+a_{20 19}\}$ và tập hợp $S$ không có quá một phần tử chung.
33. [Lào Cai-1] Trong mặt phẳng cho tập $A$ gồm $n$ điểm phân biệt ($n\,\in\,\mathbb{N^*}$) và tập $B$ gồm $14$ đường thẳng phân biệt. Biết mỗi đường thẳng của tập $B$ đi qua đúng $14$ điểm của tập $A.$
$\,a.\,$ Gọi các điểm của tập $A$ là $P_1,P_2,...,P_n.$ Với mỗi điểm $P_i$ giả sử có đúng $a_i$ đường thẳng của tập $B$ đi qua $P_i.$ CMR $\sum\limits_{i = 1}^n {a_i}\,=\,196.$
$\,b.\,$ CMR $n\,\geqslant\,102.$
34. [Thanh Hóa-2] Cho $m>n>4$ và $m,n$ là các số nguyên dương, $A$ là một tập con có đúng $n$ phần tử của tập hợp $S\,=\,\{1,2,3,...,m\}.$ CMR nếu $m\,>\,(n-1)(1+{C^2}_n+{C^3}_n+{C^4}_n) $ thì ta luôn chọn được $n$ phần tử đôi một phân biệt $x_1,x_2,...,x_n\,\in\,S$ sao cho các tập hợp $A_i\,=\,\{x+y+x_i|x \in\,A,y \in \,A\}$ sao cho $A_j$ giao $A_k$ là rỗng với mọi $j$ khác $k$, ở đây $j,k$ chạy từ $1$ đến $n.$
35. [Thừa Thiên Huế] Khối $12$ trường Quốc Học Huế có $15$ lớp và có tất vả $b$ giáo viên tham gia giảng dạy. Tìm số giáo viên $b$ biết mỗi giáo viên trên dạy đúng $4$ lớp khối $12$ và với hai lớp khối $12$ bất kì có đúng $2$ giáo viên chung.

namdung 27-09-2019 03:58 PM

Các em coi lại xem bài 1 phần số học đề có đúng không? Điểm (1/5, 16/3) ấy.


Múi giờ GMT. Hiện tại là 12:39 PM.

Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.

[page compression: 144.46 k/149.11 k (3.11%)]