Số hoán vị
 

Gọi $k$ là số hoán vị $(a_1,a_2,...,a_p)$ của $(0,1,...,p-1)$ thỏa mãn $p|a_1a_2+a_2a_3+...+a_pa_1$
Cmr:$p^2|k+p$

Cần có điều kiện gì của $p$ không nhỉ.
Em thử $p=3,4$ thấy không đúng, $p=5$ thì đúng

Rất xin lỗi,bài toán cần thêm điều kiện $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3.Cảm ơn bạn đã phát thiện giúp mình

Xét các số và chỉ số theo modulo $p$
Gọi $L$ là tập các hoán vị $(a_1,a_2,...,a_p)$ để $a_1a_2+a_2a_3+...a_pa_1 \not \vdots p$
Đặt $|L|=l$
Do $k+l=p!$ nên ta cần chứng minh $p^2|l$
Thật vậy ta định nghĩa các quan hệ giữa 2 hoán vị như sau:
*Tịnh tiến:2 hoán vị $a(a_i),b(b_i$ gọi là tịnh tiến nếu tồn tại $t$ để $a+t=b$ hay $a_i+t=b_i \forall i=1,p$
*Xoay vòng:2 hoán vị $a,b$ gọi là xoay vòng nếu tồn tại $j$ để $b_i=a_{i+j} \forall i=1,p$
*Tương đương:2 hoán vị tương đương nếu chúng tịnh tiến và xoay vòng
Các quan hệ trên đều là quan hệ tương đương (có tính phản xạ,đối xứng và bắc cầu),khi đó $L$ có thể phân hoạch thành các lớp tương đương,ta cần chứng minh mỗi lớp tương đương chứa đúng $p^2$ phần tử
Thật vậy 1 lớp tương đương có tối đa $p^2$ phần tử,nên ta chỉ ra ko tồn tại 2 phần tử trùng nhau trong lớp,giả sử p/c:tồn tại a(a_i) là hoán vị $a$ sau một số phép biến đổi tịnh tiến và xoay vòng trở thành chính nó.Điều này đồng nghĩa với tồn tại $t,j$($tj=!0(modp)$)
$a_i=a_{i+j}-t \forall i=1,p$
để ý rằng $a_{jk+i}=tk+a_i$ với mọi $i$ nên chọn $k$ để $jk=1(modp)$.Khi đó:
$a_{i+1}=l+a_i$ với $l=kt$ với mọi $i=1,p$
nhưng khi đó $a_1a_2+a_2a_3+...+a_pa_1=pa_1^2+l.p(p-2)+l.(\frac{p(p-1)}{2}+\frac{p(p-1)(2p-1)}{6}) \vdots p$ (vô lý)
vậy ta có điều phải chứng minh