Đề thi và lời giải đề VN TST năm 1999
 

Tiếp tục bổ sung các lời giải của đề thi VN TST từ năm 1990 đến nay, sau khi đã gửi lên diễn đàn đề thi và lời giải các năm 2005 đến 2010, mình xin gửi các bạn đề thi và lời giải của VN TST 1999. Hiện vẫn còn đề thi các năm 1990, 1991, 2000, 2001 và 2003 chưa có lời giải đầy đủ. Mong được mọi người quan tâm và đóng góp thêm! :)

Nói về đề thi TST năm 1999, đây thực sự là một đề khó.
Ngày thứ 1 gồm nhiều bài đòi hỏi đầu tư nhiều thời gian và lập luận, phân tích mới có thể hoàn thành đầy đủ được.
Câu 1 là bài số học kết hợp với dãy đòi hỏi chứng minh sự tuần hoàn của các số hạng, nó nêu một kết quả đẹp mắt về tính chất đồng dư. Tuy phát biểu hơi phức tạp nhưng chỉ cần chứng minh giá trị của các số hạng của dãy đã cho hữu hạn là bài toán đã rõ hơn rất nhiều. Điểm mấu chốt là chứng minh dãy đã cho tuần hoàn từ số hạng đầu tiên.

Câu 2 là một bài PT hàm đa thức phát biểu thông qua cách gọi tên "đa thức đồng dạng". Phần a của bài nếu như nắm vững tính chất của hàm sinh, cosh thì có thể giải nhanh chóng bằng cách đưa ra hàm số thoả đề bài; không thì cần xây dựng dãy đa thức Chebyshev.
Phần b của bài đòi hỏi lập luận phức tạp hơn và cần đi sâu hơn và tính chất của đa thức thoả mãn đề bài.

Câu 3 là một bài hình tổ hợp khá thú vị và có nhiều cách nhìn nhận và giải thích từ đơn giản đến phức tạp cho nó. Nhiều lập luận ngắn gọn, có vẻ đúng nhưng thực ra lại chưa phân tích kĩ vào vấn đề và đòi hỏi "với mỗi số thực $a \in (0, 1) $" của đề bài.

Câu 4 là một bài giới hạn dãy dựa trên một kết quả quen thuộc của giải tích là $(1+\frac{1}{n})^n < e < (1+\frac{1}{n})^{n+1} $. Nếu vận dụng được bổ đề này thì bài toán đã khá rõ ràng.

Câu 5 là một định lí khá cũ của hình học phẳng. Nó dựa trên kết quả sau: "Cho đường tròn (O) tiếp xúc trong với (O'). Điểm A di động trên (O'). Tiếp tuyến kẻ từ A đến (O) cắt (O) lần lượt tại B, C và (O') lần lượt tại B', C'. Khi đó tâm đường tròn nội tiếp tam giác AB'C' nằm trên BC."

Câu 6 là một bài số học khó cũng về tính đồng quy. Phần a của bài có thể giải dễ dàng tương tự như lập luận của bài 1 nhưng phần b đòi hỏi phải phân tích vấn đề rõ hơn và cách giải của nó, nếu theo cách tiếp cận tính tổng thông thường là rất phức tạp.

Lời giải của đề này mình tham khảo từ đóng góp của các thành viên của mathscope.org, mathlinks.ro, math.vn và đáp án cho câu số 6, có chỉnh sửa và bổ sung thêm. Xin chân thành cảm ơn các bạn đã đóng góp!

Vào ngày 9, 10/4 sắp tới, các bạn đạt giải Nhất, Nhì VMO vừa rồi sẽ tập trung về Hà Nội để tham gia kì thi chọn đội tuyển thi IMO. Xin gửi đến các thành viên của diễn đàn chúng ta có tham gia kì thi đó cũng như mọi người quan tâm. Mong các bạn góp ý để bài giải thêm hoàn chỉnh! :d