Diễn Đàn MathScope

Diễn Đàn MathScope (http://forum.mathscope.org/index.php)
-   Giải Tích (http://forum.mathscope.org/forumdisplay.php?f=7)
-   -   Topic về dãy số và giới hạn (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=24417)

man1995 11-10-2011 08:20 PM

Topic về dãy số và giới hạn
 
Mình xin chào các bạn. Mình muốn lập ra topic Dãy số và giới hạn để cùng nhau thảo luận và cùng bàn về các phương pháp giải các bài toán dạng này . Mình mong topic của mình được mọi người ủng hộ và bàn luận sôi nổi . Sau đây mình xin post 1 số bài :
Bài 1: Cho dãy số ${a_n} $ được xác định bởi $a_{n+1}=\frac{a^2_n+c}{a_{n-1}} $ . Chứng minh rằng nếu $a_0,a_1 $và $\frac{a^2_0+a^2_1+c}{a_0a_1} $ là số nguyên thì $a_n $ là số nguyên với mọi $n $
Bài 2: Cho $a_1,a_2...a_n $ là dãy số thực thỏa mãn điều kiện $a_{m+n}\leq a_n+a_m $ với mọi $m,n $. Chứng minh rằng $a_n\leq ma_1+\left ( \frac{n}{m}-1 \right )a_m $với mọi $n\geq m $

mathsv 11-10-2011 08:24 PM

Bài 3:
Dùng định nghĩa giới hạn dãy số để chứng minh rằng:
$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n}{\(n+1}=1 $

Lê Thế Long 11-10-2011 10:04 PM

Bài 1: Ta có thể chứng minh như sau.
Bằng quy nạp dễ thấy :$a_{n+1}a_{n-1}-a_{n}^2=a_{n}a_{n-2}-a_{n-1}^2 \Rightleftarrow \frac{a_{n+1}+a_{n-1}}{a_n}=\frac{a_n+a_{n-2}}{a_{n-1}}=...\frac{a_2+a_0}{a_1}=\frac{a_0^2+a_1^2+c}{a_ 0a_1} \in Z $
Vậy dãy đã cho nguyên

DaiToan 11-10-2011 10:38 PM

Bài 4: Tìm giới hạn của dãy $x_n = \frac{n + 1}{2^{n + 1} } \left( {\frac{2^1 }{1} + \frac{2^2 }{2} + \frac{2^3 }{3} + \ldots + \frac{2^n }{n}} \right) $.
Bài 5: Cho dãy $(x_n ):x_1 = a;x_{n + 1} = \frac{2x_n^3 - 2x_n^2 - 2}{3x_n^2 - 4x_n - 1} $. Chứng minh rằng với $\left| a \right| \ge 2 $ thì dãy hội tụ. Tìm giới hạn.

ancv93 20-10-2011 11:17 AM

Bài 5.
TH1.$a\geq2 $
$x_{n+1}-2=\frac{x_{n}(x_{n}-2)^{2}}{3x_{n}^{2}-4x_{n}-1}, x_{n+1}-x_{n}=\frac{(1-x_{n}^{2})(x_{n}-2)}{3x_{n}^{2}-4x_{n}-1} $
Từ 2 đẳng thức trên, bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được: $x_{n+1}<x_{n}, x_{n}\geq 2 $
Từ đó dãy có giới hạn hữu hạn.
Đặt $a=\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n} $ chuyển qua giới hạn ta tính được $a=2 $
TH2.$a\leq-2 $.Ta chứng minh rằng với $a\leq-1 $ thì dãy cũng có giới hạn hữu hạn!
$x_{n+1}+1=\frac{(x_{n}+1)^{2}(2x_{n}-3)}{3x_{n}^{2}-4x_{n}-1},x_{n+1}-x_{n}=\frac{(1-x_{n}^{2})(x_{n}-2)}{3x_{n}^{2}-4x_{n}-1} $
Từ 2 đẳng thức trên, bằng quy nạp ta cũng dễ dàng chứng minh được:$x_{n+1}>x_{n}, x_{n}\leq -1 $
Từ đó cũng suy ra dãy có giới hạn hữu hạn.
Đặt $a=\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n} $ chuyển qua giới hạn ta tính được $a=-1 $
Bài toán được giải xong!

n.v.thanh 20-10-2011 11:37 AM

Trích:

Nguyên văn bởi DaiToan (Post 118572)
Bài 4: Tìm giới hạn của dãy $x_n = \frac{n + 1}{2^{n + 1} } \left( {\frac{2^1 }{1} + \frac{2^2 }{2} + \frac{2^3 }{3} + \ldots + \frac{2^n }{n}} \right) $.

Quy nạp ta có
$\boxed{{\frac{2^1 }{1} + \frac{2^2 }{2} + \frac{2^3 }{3} + \ldots + \frac{2^n }{n}}=\frac{2^n}{n}.\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{\binom{n-1}{k}}} $
Nên
$x_n=\dfrac{n+1}{2n}.\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{\binom{n-1}{k}} $
Thấy rằng

$\dfrac{n+1}{2n}\to \dfrac{1}{2} $ khi $n\to \infty $

Và $\dfrac{1}{\binom{n-1}{k}}\to 0 $ khi $n\to \infty $ và $k\neq 0,n-1\longrightarrow \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{\binom{n-1}{k}}\to 2. $

Do đó $x_n\to 1 $ khi $n\to\infty $.

man1995 20-10-2011 01:02 PM

Bài 4 có thể giải thế này:
Ta có
$S_{n+1}= \frac{n+2}{2(n+1)}(S_n+1) $ và $S_{n+2}= \frac{n+3}{2(n+2)}(S_{n+1}+1) $
Từ đó $S_{n+2}-S_{n+1}=\frac{(n^2+4n+3)(S_{n+1}-S_{n})-S_n-1}{2(n+1)(n+2)} $
Rõ ràng ${S_n} $ là dãy lượng giác
Do đó $\lim_{x \to \infty }S_n $ tồn tại . Kí hiệu là $S $
Từ $S_{n+1}= \frac{n+2}{2(n+1)}(S_n+1) $

$\Rightarrow S=\frac{1}{2}(S+1)\Leftrightarrow S=1 $
Vậy $\lim_{x \to \infty }S_n=1 $
------------------------------
Mình xin post thêm 1 số bài
Bài 6:
Cho dãy ${x_n} $ với ${x_1}=a\neq -2 $ và
$x_{n+1}=\frac{3\sqrt{2x_n^2+2}-2}{2x_n+\sqrt{2x_n^2+2}} $
Xét tính hội tụ nếu có và tìm giới hạn tùy theo trường hợp cuả a
Bài 7:
Cho dãy số ${u_n} $ với
$u_1\in \mathbb{N} $ và$u_{n+1}=\frac{1}{2}ln(1+u_n^2)-2011 $
Chứng minh rằng dãy ${u_n} $ hội tụ

ancv93 20-10-2011 06:31 PM

Bài 7.
Ta có:$f(x)=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)-2011 $ là hàm số liên tục trên R và $\left | f'(x) \right |=\left | \frac{x}{1+x^2} \right |\leq \frac{1}{2},\forall x\in \mathbb{R} $
Mặt khác, nếu đặt $g(x)=x+2011-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)=x-f(x) $ thì ta có:
$g(x) $ liên tục trong R và $g'(x)=\frac{x^2-x+1}{x^2+1}>0,\forall x\in \mathbb{R} $, $g(0).g(-2011)<0 $
Từ đó ta suy ra phương trình $f(x)=x $ có nghiệm duy nhất, kí hiệu nó là L
Áp dụng định lý Lagrange, ta có:
$\exists c\in \mathbb{R}:\left | u_{n+1}-L \right |=\left | f(u_n)-f(L) \right |=f'(c)\left | u_n-L \right | $
Suy ra $\left | u_{n+1}-L \right |\leq \frac{1}{2}\left | u_n-L \right | $.Từ đó ta được: $0\leq\left | u_{n}-L \right |\leq \left ( \frac{1}{2} \right )^{n-1}\left | u_1-L \right | $
Bất đẳng thức trên chứng tỏ: $\lim_{n\rightarrow +\infty }u_n=L $, ta có đpcm!

man1995 23-10-2011 11:55 PM

Xin post thêm 1 số bài mời mọi người tiếp tục thảo luận
Bài 8: Cho $x_n=\left ( \frac{1}{2} \right )^n+\left ( \frac{2}{3} \right )^n+....+\left ( \frac{n-1}{n} \right )^n $. Tính $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{x_n}{n} $
Bài9:
Cho dãy$(u_n) $ thỏa mãn:
$u_0=a\geq 0 $ và $u_{n}^2u_{n+1}+2u_{n+1}-6=0 ,\forall n\in \mathbb{N} $
Tồn tại hay không giá trị của $a $ để dãy $u_n $ có giới hạn hữu hạn ?

ghetvan 24-10-2011 11:48 AM

Trích:

Nguyên văn bởi man1995 (Post 118704)
Bài 4 có thể giải thế này:
Ta có
$S_{n+1}= \frac{n+2}{2(n+1)}(S_n+1) $ và $S_{n+2}= \frac{n+3}{2(n+2)}(S_{n+1}+1) $
Từ đó $S_{n+2}-S_{n+1}=\frac{(n^2+4n+3)(S_{n+1}-S_{n})-S_n-1}{2(n+1)(n+2)} $
Rõ ràng ${S_n} $ là dãy lượng giác
Do đó $\lim_{x \to \infty }S_n $ tồn tại . Kí hiệu là $S $
Từ $S_{n+1}= \frac{n+2}{2(n+1)}(S_n+1) $

$\Rightarrow S=\frac{1}{2}(S+1)\Leftrightarrow S=1 $
Vậy $\lim_{x \to \infty }S_n=1 $
------------------------------
Mình xin post thêm 1 số bài
Bài 6:
Cho dãy ${x_n} $ với ${x_1}=a\neq -2 $ và
$x_{n+1}=\frac{3\sqrt{2x_n^2+2}-2}{2x_n+\sqrt{2x_n^2+2}} $
Xét tính hội tụ nếu có và tìm giới hạn tùy theo trường hợp cuả a
Bài 7:
Cho dãy số ${u_n} $ với
$u_1\in \mathbb{N} $ và$u_{n+1}=\frac{1}{2}ln(1+u_n^2)-2011 $
Chứng minh rằng dãy ${u_n} $ hội tụ

Cho mình hỏi dãy lượng giác là vậy? bạn nào có tài liệu về phần này cho mình xin với

DaiToan 01-11-2011 10:21 PM

1 Attachment(s)
Trích:

Nguyên văn bởi ghetvan (Post 119279)
Cho mình hỏi dãy lượng giác là vậy? bạn nào có tài liệu về phần này cho mình xin với

bạn xem phai này

Gravita 05-04-2012 08:47 PM

Bài 8: Cho dãy $(x_n) $ thỏa mãn: $\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = a > 1 \\ 2012{x_{n + 1}} = x_n^2 + 2011{x_n} \\ \end{array} \right.\] $
Tìm $\[\lim \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{x_i}}}{{{x_{i + 1}} - 1}}} \] $.

sang89 10-04-2012 11:25 AM

Trích:

Nguyên văn bởi man1995 (Post 119258)
Bài 8: Cho $x_n=\left ( \frac{1}{2} \right )^n+\left ( \frac{2}{3} \right )^n+....+\left ( \frac{n-1}{n} \right )^n $. Tính $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{x_n}{n} $

Ta có bất đẳng thức quen thuộc $\dfrac{1}{x+1} \le \ln \left(1+\dfrac{1}{x}\right) \le \dfrac{1}{x} $

Áp dụng bất đẳng thức trên dễ dàng suy ra

$-\dfrac{n}{i-1} \le n \ln \left( \dfrac{i-1}{i}\right) \le -\dfrac{n}{i}, \: \forall i = \overline{1,n} $

Do hàm $f(x) = e^x $ là hàm đồng biến trên $ \mathbb{R} $ nên ra có

$e^{-\frac{n}{i-1}} < \left(\dfrac{i-1}{i}\right)^n < e^{-\frac{n}{i}} $

Vì vậy, $\exists \xi_i \in \left[\dfrac{i-1}{n},\, \dfrac{i}{n}\right] $ để $e^{-\frac{n}{i-1}} < e^{\xi_i} < e^{\frac{n}{i}} $

Phân hoạch của $g(x) = e^{-1/x} $ thành n đoạn bằng nhau trên đoạn $[0, \, 1] $, ta thấy rằng

$\lim_{n \to \infty} \dfrac{x_n}{n} = \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}\left(\dfrac{i-1}{i}\right)^n - \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = \displaystyle \int_0^1 e^{-1/x} \, \mathrm{d}x $

Công việc còn lại chỉ là tính [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] là xong.

cloner 10-04-2012 01:14 PM

Trích:

Nguyên văn bởi man1995 (Post 118704)
Bài 4 có thể giải thế này:
Ta có
$S_{n+1}= \frac{n+2}{2(n+1)}(S_n+1) $ và $S_{n+2}= \frac{n+3}{2(n+2)}(S_{n+1}+1) $
Từ đó $S_{n+2}-S_{n+1}=\frac{(n^2+4n+3)(S_{n+1}-S_{n})-S_n-1}{2(n+1)(n+2)} $
Rõ ràng ${S_n} $ là dãy lượng giác
Do đó $\lim_{x \to \infty }S_n $ tồn tại . Kí hiệu là $S $
Từ $S_{n+1}= \frac{n+2}{2(n+1)}(S_n+1) $

$\Rightarrow S=\frac{1}{2}(S+1)\Leftrightarrow S=1 $
Vậy $\lim_{x \to \infty }S_n=1 $

Chỗ kết luận "Rõ ràng $ S_n $ là dãy lượng giác" và "Do đó $\lim_{x \to \infty }S_n $ tồn tại" bạn nói rõ ra xem nào

Mình nghĩ chỗ này nếu bạn lấy hiệu như vậy thì nên tìm giá trị $n $ nào đó để cho $S_n > S_{n+1} $ rồi kết luận từ n trở đi thì dãy giảm. Mà dãy dương nên tồn tại giới hạn

p/s Với lại bài này dùng stolz là ra ngay luôn ấy :lolz:

misu 12-04-2012 10:59 AM

Trích:

Nguyên văn bởi DaiToan (Post 120759)
bạn xem phai này

Mình đã đọc file này và vẫn không biết dãy lượng giác là gì? :buon:

PS: File word khó đọc quá.


Múi giờ GMT. Hiện tại là 05:08 PM.

Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.

[page compression: 21.95 k/23.32 k (5.88%)]