Topic về dãy số và giới hạn Mình xin chào các bạn. Mình muốn lập ra topic Dãy số và giới hạn để cùng nhau thảo luận và cùng bàn về các phương pháp giải các bài toán dạng này . Mình mong topic của mình được mọi người ủng hộ và bàn luận sôi nổi . Sau đây mình xin post 1 số bài : Bài 1: Cho dãy số ${a_n} $ được xác định bởi $a_{n+1}=\frac{a^2_n+c}{a_{n-1}} $ . Chứng minh rằng nếu $a_0,a_1 $và $\frac{a^2_0+a^2_1+c}{a_0a_1} $ là số nguyên thì $a_n $ là số nguyên với mọi $n $ Bài 2: Cho $a_1,a_2...a_n $ là dãy số thực thỏa mãn điều kiện $a_{m+n}\leq a_n+a_m $ với mọi $m,n $. Chứng minh rằng $a_n\leq ma_1+\left ( \frac{n}{m}-1 \right )a_m $với mọi $n\geq m $ |
Bài 3: Dùng định nghĩa giới hạn dãy số để chứng minh rằng: $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n}{\(n+1}=1 $ |
Bài 1: Ta có thể chứng minh như sau. Bằng quy nạp dễ thấy :$a_{n+1}a_{n-1}-a_{n}^2=a_{n}a_{n-2}-a_{n-1}^2 \Rightleftarrow \frac{a_{n+1}+a_{n-1}}{a_n}=\frac{a_n+a_{n-2}}{a_{n-1}}=...\frac{a_2+a_0}{a_1}=\frac{a_0^2+a_1^2+c}{a_ 0a_1} \in Z $ Vậy dãy đã cho nguyên |
Bài 4: Tìm giới hạn của dãy $x_n = \frac{n + 1}{2^{n + 1} } \left( {\frac{2^1 }{1} + \frac{2^2 }{2} + \frac{2^3 }{3} + \ldots + \frac{2^n }{n}} \right) $. Bài 5: Cho dãy $(x_n ):x_1 = a;x_{n + 1} = \frac{2x_n^3 - 2x_n^2 - 2}{3x_n^2 - 4x_n - 1} $. Chứng minh rằng với $\left| a \right| \ge 2 $ thì dãy hội tụ. Tìm giới hạn. |
Bài 5. TH1.$a\geq2 $ $x_{n+1}-2=\frac{x_{n}(x_{n}-2)^{2}}{3x_{n}^{2}-4x_{n}-1}, x_{n+1}-x_{n}=\frac{(1-x_{n}^{2})(x_{n}-2)}{3x_{n}^{2}-4x_{n}-1} $ Từ 2 đẳng thức trên, bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được: $x_{n+1}<x_{n}, x_{n}\geq 2 $ Từ đó dãy có giới hạn hữu hạn. Đặt $a=\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n} $ chuyển qua giới hạn ta tính được $a=2 $ TH2.$a\leq-2 $.Ta chứng minh rằng với $a\leq-1 $ thì dãy cũng có giới hạn hữu hạn! $x_{n+1}+1=\frac{(x_{n}+1)^{2}(2x_{n}-3)}{3x_{n}^{2}-4x_{n}-1},x_{n+1}-x_{n}=\frac{(1-x_{n}^{2})(x_{n}-2)}{3x_{n}^{2}-4x_{n}-1} $ Từ 2 đẳng thức trên, bằng quy nạp ta cũng dễ dàng chứng minh được:$x_{n+1}>x_{n}, x_{n}\leq -1 $ Từ đó cũng suy ra dãy có giới hạn hữu hạn. Đặt $a=\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n} $ chuyển qua giới hạn ta tính được $a=-1 $ Bài toán được giải xong! |
Trích:
$\boxed{{\frac{2^1 }{1} + \frac{2^2 }{2} + \frac{2^3 }{3} + \ldots + \frac{2^n }{n}}=\frac{2^n}{n}.\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{\binom{n-1}{k}}} $ Nên $x_n=\dfrac{n+1}{2n}.\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{\binom{n-1}{k}} $ Thấy rằng$\dfrac{n+1}{2n}\to \dfrac{1}{2} $ khi $n\to \infty $ Và $\dfrac{1}{\binom{n-1}{k}}\to 0 $ khi $n\to \infty $ và $k\neq 0,n-1\longrightarrow \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{\binom{n-1}{k}}\to 2. $ Do đó $x_n\to 1 $ khi $n\to\infty $. |
Bài 4 có thể giải thế này: Ta có $S_{n+1}= \frac{n+2}{2(n+1)}(S_n+1) $ và $S_{n+2}= \frac{n+3}{2(n+2)}(S_{n+1}+1) $ Từ đó $S_{n+2}-S_{n+1}=\frac{(n^2+4n+3)(S_{n+1}-S_{n})-S_n-1}{2(n+1)(n+2)} $ Rõ ràng ${S_n} $ là dãy lượng giác Do đó $\lim_{x \to \infty }S_n $ tồn tại . Kí hiệu là $S $ Từ $S_{n+1}= \frac{n+2}{2(n+1)}(S_n+1) $ $\Rightarrow S=\frac{1}{2}(S+1)\Leftrightarrow S=1 $ Vậy $\lim_{x \to \infty }S_n=1 $ ------------------------------ Mình xin post thêm 1 số bài Bài 6: Cho dãy ${x_n} $ với ${x_1}=a\neq -2 $ và $x_{n+1}=\frac{3\sqrt{2x_n^2+2}-2}{2x_n+\sqrt{2x_n^2+2}} $ Xét tính hội tụ nếu có và tìm giới hạn tùy theo trường hợp cuả a Bài 7: Cho dãy số ${u_n} $ với $u_1\in \mathbb{N} $ và$u_{n+1}=\frac{1}{2}ln(1+u_n^2)-2011 $ Chứng minh rằng dãy ${u_n} $ hội tụ |
Bài 7. Ta có:$f(x)=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)-2011 $ là hàm số liên tục trên R và $\left | f'(x) \right |=\left | \frac{x}{1+x^2} \right |\leq \frac{1}{2},\forall x\in \mathbb{R} $ Mặt khác, nếu đặt $g(x)=x+2011-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)=x-f(x) $ thì ta có: $g(x) $ liên tục trong R và $g'(x)=\frac{x^2-x+1}{x^2+1}>0,\forall x\in \mathbb{R} $, $g(0).g(-2011)<0 $ Từ đó ta suy ra phương trình $f(x)=x $ có nghiệm duy nhất, kí hiệu nó là L Áp dụng định lý Lagrange, ta có: $\exists c\in \mathbb{R}:\left | u_{n+1}-L \right |=\left | f(u_n)-f(L) \right |=f'(c)\left | u_n-L \right | $ Suy ra $\left | u_{n+1}-L \right |\leq \frac{1}{2}\left | u_n-L \right | $.Từ đó ta được: $0\leq\left | u_{n}-L \right |\leq \left ( \frac{1}{2} \right )^{n-1}\left | u_1-L \right | $ Bất đẳng thức trên chứng tỏ: $\lim_{n\rightarrow +\infty }u_n=L $, ta có đpcm! |
Xin post thêm 1 số bài mời mọi người tiếp tục thảo luận Bài 8: Cho $x_n=\left ( \frac{1}{2} \right )^n+\left ( \frac{2}{3} \right )^n+....+\left ( \frac{n-1}{n} \right )^n $. Tính $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{x_n}{n} $ Bài9: Cho dãy$(u_n) $ thỏa mãn: $u_0=a\geq 0 $ và $u_{n}^2u_{n+1}+2u_{n+1}-6=0 ,\forall n\in \mathbb{N} $ Tồn tại hay không giá trị của $a $ để dãy $u_n $ có giới hạn hữu hạn ? |
Trích:
|
1 Attachment(s) Trích:
|
Bài 8: Cho dãy $(x_n) $ thỏa mãn: $\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = a > 1 \\ 2012{x_{n + 1}} = x_n^2 + 2011{x_n} \\ \end{array} \right.\] $ Tìm $\[\lim \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{x_i}}}{{{x_{i + 1}} - 1}}} \] $. |
Trích:
Áp dụng bất đẳng thức trên dễ dàng suy ra $-\dfrac{n}{i-1} \le n \ln \left( \dfrac{i-1}{i}\right) \le -\dfrac{n}{i}, \: \forall i = \overline{1,n} $ Do hàm $f(x) = e^x $ là hàm đồng biến trên $ \mathbb{R} $ nên ra có $e^{-\frac{n}{i-1}} < \left(\dfrac{i-1}{i}\right)^n < e^{-\frac{n}{i}} $ Vì vậy, $\exists \xi_i \in \left[\dfrac{i-1}{n},\, \dfrac{i}{n}\right] $ để $e^{-\frac{n}{i-1}} < e^{\xi_i} < e^{\frac{n}{i}} $ Phân hoạch của $g(x) = e^{-1/x} $ thành n đoạn bằng nhau trên đoạn $[0, \, 1] $, ta thấy rằng $\lim_{n \to \infty} \dfrac{x_n}{n} = \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}\left(\dfrac{i-1}{i}\right)^n - \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = \displaystyle \int_0^1 e^{-1/x} \, \mathrm{d}x $ Công việc còn lại chỉ là tính [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] là xong. |
Trích:
Mình nghĩ chỗ này nếu bạn lấy hiệu như vậy thì nên tìm giá trị $n $ nào đó để cho $S_n > S_{n+1} $ rồi kết luận từ n trở đi thì dãy giảm. Mà dãy dương nên tồn tại giới hạn p/s Với lại bài này dùng stolz là ra ngay luôn ấy :lolz: |
Trích:
PS: File word khó đọc quá. |
Múi giờ GMT. Hiện tại là 05:08 PM. |
Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.