Kỳ thi chọn HSGQG môn Toán 2014 - Đề thi
 

Năm 2014, năm của nhiều sự kiện kỷ niệm. Cách đây 50 năm, tờ báo Toán sơ cấp đầu tiên đã ra đời, đó là tạp chí Toán học và tuổi trẻ. Và cách đây 40 năm, Việt Nam lần đầu tiên tham gia kì thi Olympic Toán quốc tế.

Mở đầu cho năm 2014, vào tuần đầu tiên này, kì thi HSGQG môn Toán lần thứ 55 (lần đầu tiên vào năm 1962) sẽ được tổ chức. Giống như 3 năm trở lại đây, kỳ thi năm nay vẫn diễn ra trong 2 ngày nhưng được tổ chức sớm hơn năm trước một tuần, vào ngày 03-04/01. Không có thông tin gì trong việc thay đổi cấu trúc, nội dung, tức là chúng ta vẫn có 2 ngày thi: ngày 1 có 4 bài, mỗi bài 5 điểm và ngày 2 có 3 bài với số điểm phân bố là 6-7-7. Đề thi sẽ vẫn chắc chắn có 1 câu giải tích, 1 câu số học, còn lại 5 câu thì: đại số, hình học, tổ hợp sẽ có tỉ lệ 1:2:2, 2:1:2 hoặc 2:2:1.

Năm trước 15 điểm là có giải khuyến khích, 19 điểm là giải ba, 23 điểm là có giải nhì. Tất nhiên chưa có thể nói gì về điểm chuẩn cho năm nay vì còn tùy vào tình hình làm bài của các bạn thí sinh nhưng mình nghĩ 3/7 bài trọn vẹn là có quyền hy vọng rồi.

Sau thành công tại kỳ thi IMO 2013 ở Colombia với 3 HCV và 3 HCB, các chương trình rèn luyện hướng tới việc chuẩn bị lực lượng cho kỳ thi IMO 2014 đã được tiến hành sôi nổi, đều đặn mà một trong các mấu chốt quan trọng chính là kỳ thi VMO này để tuyển chọn ra các học sinh cho vòng 2 (theo mình biết là diễn ra vào cuối tháng 3 tới).

Cho đến thời điểm này, chắc các địa phương cũng đã hoàn tất việc luyện thi và các thành viên của hơn 50 đội tuyển HSG cũng đã sẵn sàng. Như các năm trước, mình xin phép lập topic này để chứa nội dung đề thi VMO 2014 của 2 ngày. Các topic chia nhỏ để thảo luận về từng bài chắc sẽ được các mod của diễn đàn tạo khi ngày 1 của kỳ thi kết thúc. Thảo luận về kỳ thi này thì mình thấy các bạn đã tạo [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...].

Xin chúc các bạn học sinh, đặc biệt là các thành viên của diễn đàn là thí sinh trong đợt này có một kỳ thi thành công, ý nghĩa và dù kết quả thế nào thì cũng có thể tự hào được vì mình đã cố gắng hết sức!
:)

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] (5.0 điểm). Cho hai dãy số dương $(x_n), (y_n)$ xác định bởi $x_1=1, y_1=\sqrt{3}$ và
$$ \begin{cases} x_{n+1} y_{n+1} - x_n = 0 \\ x^2_{n+1} + y_n = 2 \end{cases} $$
với mọi $n=1,2,\ldots$. Chứng minh rằng hai dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng.

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] (5.0 điểm). Cho đa thức $P(x) = (x^2-7x+6)^{2n}+13$ với $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng $P(x)$ không thể biểu diễn được dưới dạng tích của $n+1$ đa thức khác hằng số với hệ số nguyên.

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] (5.0 điểm). Cho đa giác đều có 103 cạnh. Tô màu đỏ 79 đỉnh của đa giác và tô màu xanh các đỉnh còn lại. Gọi $A$ là số cặp đỉnh đỏ kề nhau và $B$ là số cặp đỉnh xanh kề nhau.

1. Tìm tất cả các giá trị có thể nhận được của cặp $(A,B)$.
2. Xác định số cách tô màu các đỉnh của đa giác để $B=14$. Biết rằng, hai cách tô màu được xem là như nhau nếu chúng có thể nhận được từ nhau qua một phép quay quanh tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác.

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] (5.0 điểm). Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với $AB<AC$. Gọi $I$ là trung điểm cung $BC$ không chứa $A$. Trên $AC$ lấy điểm $K$ khác $C$ sao cho $IK=IC$. Đường thẳng $BK$ cắt $(O)$ tại $D$ ($D \ne B$) và cắt đường thẳng $AI$ tại $E$. Đường thẳng $DI$ cắt đường thẳng $AC$ tại $F$.

1. Chứng minh rằng $EF = \dfrac{BC}{2}$.
2. Trên $DI$ lấy điểm $M$ sao cho $CM$ song song với $AD$. Đường thẳng $KM$ cắt đường thẳng $BC$ tại $N$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BKN$ cắt $(O)$ tại $P$ ($P \ne B$). Chứng minh rằng đường thẳng $PK$ đi qua trung điểm đoạn thẳng $AD$.

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] (7.0 điểm). Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, trong đó $B,C$ cố định và $A$ thay đổi trên $(O)$. Trên các tia $AB$ và $AC$ lần lượt lấy các điểm $M$ và $N$ sao cho $MA=MC$ và $NA=NB$. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AMN$ và $ABC$ cắt nhau tại $P$ ($P \ne A$). Đường thẳng $MN$ cắt đường thẳng $BC$ tại $Q$.

1. Chứng minh rằng ba điểm $A,P,Q$ thẳng hàng.
2. Gọi $D$ là trung điểm của $BC$. Các đường tròn có tâm là $M,N$ và cùng đi qua $A$ cắt nhau tại $K$ ($K \ne A$). Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $AK$ cắt $BC$ tại $E$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ cắt $(O)$ tại $F$ ($F \ne A$). Chứng minh rằng đường thẳng $AF$ đi qua một điểm cố định.

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] (7.0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$$ T = \dfrac{x^3y^4z^3}{(x^4+y^4)(xy+z^2)^3} + \dfrac{y^3z^4x^3}{(y^4+z^4)(yz+x^2)^3} + \dfrac{z^3x^4y^3}{(z^4+x^4)(zx+y^2)^3} $$
với $x,y,z$ là các số thực dương.

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] (6.0 điểm). Tìm tất cả các bộ số gồm 2014 số hữu tỉ không nhất thiết phân biệt, thỏa mãn điều kiện: nếu bỏ đi một số bất kì trong bộ số đó thì 2013 số còn lại có thể chia thành 3 nhóm rời nhau sao cho mỗi nhóm gồm 671 số và tích tất cả các số trong mỗi nhóm bằng nhau.