Đa thức hệ số nguyên
 

1. Cho đa thức hệ số nguyên P không có nghiệm bội .Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên tố p sao cho $p||P(n) $ với n là số nguyên nào đó .
(AMM)
Áp dụng bài toán 1 để cm bài toán tổng quát nhưng khá cũ sau :
Cho P(x) là một đa thức hệ số nguyên sao cho P(x) nhận giá trị chính phương với mọi n>M nào đó .Khi đó hãy chứng minh rằng tồn tại f hệ nguyên sao cho $G(x)=f(x)^2 $
Hãy liên hệ và chứng minh bài toán tổng quát sau :
Cho P(x) là đa thức hệ số nguyên nhận giá trị là luỹ thừa bậc k của số nguyên với mọi n>M nào đó .Khi đó chứng minh tồn tại f hệ nguyên sao cho $G(x)=f(x)^k $
enjoy!

2 câu này có trong quyên chuyên đề đa thức của thầy mậu. Cái bài tổng quát tớ chưa nghĩ:hornytoro: spam tí nhá

Chứng minh.
Do $P(x) $ không có nghiệm bội nên $(P(x), P'(x))=1 $. Do đó tồn tại số nguyên $c\not=0 $ và các đa thức hệ nguyên $a(x), b(x) $ thoả mãn $a(x)P(x)+b(x)P'(x)=c $.
Giả sử rằng nếu $p\mid P(n) $ thì $p\mid P'(x) $, khi đó $p\mid c $. Vậy $P(n) $ có hữu hạn số nguyên tố, suy ra $P(x) $ là hằng số, vô lí.
Vậy tồn tại vô số số nguyên tố p thoả mãn $p\mid P(n) $ và $p\not|P'(n) $. Giả sử $p^t|| P(n) $.
Chú ý rằng $P(n)=P(n-p^{t-1})+p^{t-1}P'(n-p^{t-1})+p^{2t-2}Q(x, t) $.
Do $p^t|| P(n) $ nên $p^t||P(n-p^{t-1})+p^{t-1}P'(n-p^{t-1}) $. Mặt khác $p\not|P'(n-p^{t-1}) $.Do đó $p^{t-1}||P(n-p^{t-1}) $.
Tương tự như vậy, ta sẽ chứng minh được $p\mid P(n-p^{t-1}-\cdots-p) $. Đây chính là điều phải chứng minh.

PS. Cái lỗi <br/> ở dòng cuối em không tìm được lỗi sai. Các moderator sửa hộ

@SideWinder: Trong công thức đã đc bao bằng thẻ TEX thì ko được xuống dòng nếu ko sẽ xuất hiện lỗi như của bạn.

Topic liên quan:
[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]
:-??
Rất trùng hợp là bài tổng quát trên và bài của anh
Talent lại à 2 bài đầu tiên trong cuốn:

Bài toán này có xuất sứ từ AMM-Cái này em không biết mong bác Talent chỉ cho là số nào với và cách sử dụng nó để Cm Bài toán của Newbie thế nào:D Bài toán tương đương với :
_phát biểu như vầy sẽ tiện cho quy nạp
Nó cũng dc chọn làm đề Iran.CM của anh Sidewinder có vẻ chưa ổn lắm.Mới chỉ là trường hợp $m=1 $
Lat nữa em sẽ post lời giải.Giờ đi tìm xem là đề Iran năm nào đã:-??