23rd Indian NMO ,08
 

All the points with integer coordinates in the $xy $-Plane are coloured using three colours, red, blue and green, each colour being used at least once. It is known that the point $(0;0) $ is red and the point $(0;1) $ is blue. Prove that there exist three points with integer coordinates of distinct colours which form the vertices of a right-angled triangle.

Phản chứng giả sử không có tam giác vuông nào như thế.
Xét 3 trường hợp:
-Có 1 điểm màu xanh lá cây nằm ở trục tung,gọi tọa độ của nó là (0,y).Xét đường thẳng kẻ từ (0,y) song song với trục hoành.Ta có mỗi điểm nguyên trên đường thẳng đó đều phải là màu xanh lá cây (nếu là 2 màu kia thì sẽ tạo tam giác vuông như đề bài ngay).Xét điểm (y-1,y) là màu xanh lá cây.Ta thấy nó và 2 điểm (0,1);(1,0) tạo thành một tam giác vuông =>Điểm (1,0) màu xanh dương.Nhưng như thế thì vô lý vì 3 điểm (0,0);(1,0);(1,y) đã tạo thành 1 tam giác vuông với 3 màu phân biệt.
-Điểm xanh lá cây không nằm trên trục hoành và nó có tọa độ (z,t) với $z \neq 0;t \neq 0,1 $.Xét điểm (0,z).Ta thấy nó buộc phải là màu xanh lá cây và từ đó ta có tương tự trường hợp 1.
-Điểm xanh lá cây có tọa độ (r,1) hoặc (r,0).Dễ thấy nó và hai điểm đã cho ở đề bài tạo thành 1 tam giác vuông thỏa đề bài.
Từ đó ta có đpcm.