Áp dụng Sine Law cho tam giác IBC:

$\Rightarrow IB=\frac{ \sin 70^0}{\sin 10^0}.IC $

$\Rightarrow IA=IB.\sin 10^0 = IC\sin 70^0 $

$\Rightarrow IA.\left(1+\frac{1}{\sin 70^0}\right)=AC $

$\Rightarrow IA.\left(1+\frac{1}{\sin 70^0}\right)=AH.\cot 30^0 $

$\Rightarrow \tan \angle{AHI}=\frac{\sin 70^0. \cot 30^0}{\sin 70^0+1} $

Ta sẽ chứng minh rằng $\angle{AHI}=40^0 $

$\Leftrightarrow \frac{\sin 70^0.\cos 30^0}{(\sin 70^0+1)\sin 30^0}=\frac{\sin 40^0}{\cos 40^0} $
$
\Leftrightarrow \cos 40^0(\sin 40^0 +\sin 100^0)=2\sin 40^0 \sin 30^0 (\sin 70^0+1 $)

$\Leftrightarrow \cos 40^0\sin 40^0+\sin 100^0 \cos 40^0 = (\cos 10^0 -\cos 70^0)(\sin 70^0+1) $

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 80^0+\frac{1}{2}\sin 60^0+\frac{1}{2}\sin 140^0 = \frac{1}{2}\sin 60^0 + \frac{1}{2}\sin 80^0 -\frac{1}{2}\sin 140^0 $

$\Leftrightarrow \cos 70^0+\sin 140^0 = \cos 10^0 $

Đẳng thức này là hiển nhiên bởi vì:

$\cos 70^0+\sin 140^0 = \cos 70^0 + \cos 50^0 = \frac{1}{2}\cos 60^0 \cos 10^0 = \cos 10^0 $

Do đó, $\angle{AHI}=40^0 $

Từ đó suy ra $\angle{CHI}=20^0 $

Không gì mạnh hơn Trigonometry =p~