Trao đổi về một số phương trình nghiệm nguyên!
 

Bài toán đầu tiên là bài toán sau , khá thú vị :)

BÀI TOÁN 1: Giải phương trình nghiệm nguyên:

$2 x^6 +y^2-2x^3y =320 $

$2 x^6 +y^2-2x^3y=x^6+x^6-2x^3y+y^2=x^6+(x^3-y)^2=320 $
Tiếp theo dễ thấy $-2\leq x \leq 2 $
Thử chọn :hornytoro::hornytoro::hornytoro:

Ok rất tự nhiên:)
Mình giải như sau ( nghĩ ra thì thấy chắc là tương tự:)))
Coi đó là phương trình bậc hai với biến $y $ , rồi xét điều kiện có nghiệm là cũng ra khoảng của $x $!

thêm 2 pt nữa
Tìm nghiệm tạ nhiên của pt sau
1, $x^2+y^2+1=3xy $
2, $x^2(y^2-4)=z^2+4 $

Ta có $x^2-3xy+y^2+1=0 $
Ta coi PT có ẩn là $x $
Ta sẽ có
$\Delta =9y^2-4y^2-4=5y^2-4 $
Tiếp theo để $x $ nhận giá trị nguyên thì $\Delta $ là số chính phương
Hay nói cách khác $5y^2-4=m^2 $
Hay $m^2-5y^2=-4 $
Đây là PT Pell chứa tham số có 2 nghiệm khởi đầu là $(m,y)=(1,1) $ và $(m,y)=(11,5) $
Mà từ $y $ và $m $ ta dễ tính được $x $

$\to x^2y^2-4x^2=z^2+4 $
$\to x^2y^2-z^2=4x^2+4 $
$\to (xy-z)(xy+z)=4(x^2+1) $
$VP\vdots 4\to VT\vdots 4 $ hay $(xy-z)(xy+z)\vdots 4 $
$\to xy $ và $z $ cùng tĩnh chẵn lẻ$\to xy-z\vdots 2;xy+z\vdots 2 $
đặt $xy-z=2k\to xy+z=2k+2z $
từ đó ta có phương trình:$ z^2+kz=x^2+1 $
hê hê rùi giải phương trình này theo kiểu của em Math10T=))

Gọi hai bài của anh Nhiên là 2 và 3 nhá:), bây giờ là 1 dạng pt nghiệm nguyên cũng rất quen thuộc: dạng $a^x+b^y=c^z $ (a,b,c là hằng số)
Loại này nhiều lắm, đưa vài cái thôi:

4)$19^x+87^y=28^z $
5)$3^x+3^y=6^z $
6) $2001^x+1=2002^y $
7)Cho số nguyên tố p và số tự nhiên m (m>1). Có tồn tại hay không số tự nhiên a để:
$a^m+2^p=5^p $

giả sử $x>y $
$\to 3^y(3^{x-y}+1)=2^z.3^z $
$\to 3^{y-z}(3^{x-y}+1)=2^z $
$\to 3^{y-z}=1\to y=z $
$\to 3^{x-y}+1=2^y $
$\to y\vdots 2\to y=2k $
khi đó ta có:$\to 3^{x-2k}+1=2^{2k} $
$\to 3^{x-2k}=(2^k+1)(2^k-1) $
$\to 3^{x-2k}=[(2^k-1)+2](2^k-1) $
với $x-2k=0\to x=y=z $ dễ dàng tính đc $x=y=z=1 $
với $x-2k\neq 0 $
nếu $(2^k+1)\vdots 3\to (2^k-1)\not \vdots 3\to 2^k-1=1\to k=1\to y=2 $ từ đó tính đc $x=3;z=2 $
nếu $2^k-1\vdots 3\to 2^k+1\not \vdots 3\to 2^k+1=1\to 2^k=-2 $(vô lý)
vậy $(x;y;z)=(1;1;1)(2;3;2);(3;2;2) $

$2001^x+1=2002^y $
đặt $x=2n+1 $
ta có:$2001^{2n+1}+1=2002^y $
với $y=2k $ta có:
$2001^{2n+1}=(2002^k+1)(2002^k-1) $
$\to \{2002^k+1=2001^{2n+1}\\2002^k-1=1 $
$\to \{2002^k+1=2001^{2n+1}\\2002^k-1=1 $
thì $x,y $ko có giá trị
Với $y=2k+1 $ ta có:
$2001^{2n+1}+1=2002^{2k+1} $
$\to 2001^{2n+1}=2001.2002^{2k}+2002^{2k}-1 $
$\to 2001.(2001^{2n}-2002^{2k})=(2002^k-1)(2002^k+1) $
$\to 2001.(2001^{2n}-2002^{2k})=(2002^k-1)(2002^k+1) $
nếu $k>0 $ thì $2001^{2n}-2002^{2k}<0\to VT<0;VP>0 $
Nếu $k=0\to y=1\to x=1 $
Vậy $(x,y)=(1,1) $

Spam tí nhỉ. Phương trình Pell $x^2-5y^2=-1 $ có vô số nghiệm. Khi đó ta có $x^2+1|5.y.2yA $ nên $x^2+1|x! $ và có điều phải cm.

Một bài nữa:)

Bài toán: GPT nghiệm nguyên không âm:
$(x+1)^2 +(x+2)^2 =(y+3)^2 $

khai triển ra biến đổi 1 tí ta đưa về giải phương trình '
$2x^2+6x+5=k^2 $
$<->(x-2)(x+5)=(k-5)(k+5) $ nếu $x=2->k=5->y=2 $
do ước chung ko âm của $x-2 $ và $x+5 $ là 1,7
mà ước chung ko âm của $k-5 $ và $k+5 $ là 1,2,5 nên ước cung lớn nhất của 4 số đó là 1 ->$x-2=k-5 $ $x+5=k+5 $->$x=-\frac{5}{6} $ loại:hornytoro:

k là một biểu thức theo y? Sao em không viết rõ ra k=? cho mọi ng dễ theo dõi?

Mà anh không hiểu đoạn:"ước chung ko âm của $x-2 $ và $x+5 $ là 1,7" .....:dumb:

gọi ước chung của x-2 và x+5 là d
nên x+5-(x-2) chia hết cho d
hay 7 chia hết cho d
nên d=1 hoặc 7
anh Khánh bị stress rồi