Diễn Đàn MathScope

Diễn Đàn MathScope (http://forum.mathscope.org/index.php)
-   2014 (http://forum.mathscope.org/forumdisplay.php?f=177)
-   -   [VMO 2014] Bài 5 - Hình học phẳng (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=46338)

huynhcongbang 04-01-2014 11:47 AM

[VMO 2014] Bài 5 - Hình học phẳng
 
Bài 5. (7 điểm)

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, trong đó $BC$cố định và $A$ thay đổi trên $(O)$. Trên các tia $AB,AC$ lấy lần lượt các điểm $M$ và $N$ sao cho $MA=MC$ và $NA=NB$. Các đường tròn ngoại tiếp $AMN,ABC$ cắt nhau tại $P$ khác $A$. Đường thẳng $MN$ cắt $BC$ tại $Q$.
a. Chứng minh $A,P,Q$ thẳng hàng.
b. Gọi $D$ là trung điểm $BC$. Các đường tròn có tâm $M,N$ cùng đi qua $A$ cắt nhau tại $K$ khác $A$. Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $AK$ cắt $BC$ tại $E$. Đường tròn ngoại tiếp $ADE$ cắt $(O)$ tại $F$ khác $A$. Chứng minh $AF$ đi qua một điểm cố định.

hansongkyung 04-01-2014 11:49 AM

Phần a thì dễ rồi. Phần b thì $AF$ chính là đường đối trung nên nó đồng quy với 2 tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$ và $C$ :sad:
Vì em ngu si, lòng đã không suy nghĩ :sad:

pega94 04-01-2014 12:08 PM

Trích:

Nguyên văn bởi hansongkyung (Post 199196)
Phần a thì dễ rồi. Phần b thì $AF$ chính là đường đối trung nên nó đồng quy với 2 tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$ và $C$ :sad:
Vì em ngu si, lòng đã không suy nghĩ :sad:

Anh phải tài thiên hông mà năm nào cũng thi hết vậy :]]

Nguyen Van Linh 04-01-2014 12:11 PM

Câu hình ngày 2 khá đơn giản.

a) $\angle ABN=\angle BAN=\angle ACM$ nên tứ giác $MBNC$ nội tiếp. Từ đó $QB.QC=QN.QM$ hay $Q$ nằm trên trục đẳng phương của $(AMN)$ và $(ABC).$
b) Tứ giác $BMCN$ nội tiếp nên $MN$ là đường đối song ứng với $BC$, suy ra $MN\perp AO$. Như vậy $(AED)$ là đường tròn đường kính $EO$. Suy ra $ABFC$ là tứ giác điều hòa, suy ra $AF$ đi qua giao của 2 tiếp tuyến tại $B$ và $C.$

thaygiaocht 04-01-2014 12:13 PM

Trích:

Nguyên văn bởi huynhcongbang (Post 199194)
Bài 5. (7 điểm)

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, trong đó $BC$cố định và $A$ thay đổi trên $(O)$. Trên các tia $AB,AC$ lấy lần lượt các điểm $M$ và $N$ sao cho $MA=MC$ và $NA=NB$. Các đường tròn ngoại tiếp $AMN,ABC$ cắt nhau tại $P$ khác $A$. Đường thẳng $MN$ cắt $BC$ tại $Q$.
a. Chứng minh $A,P,Q$ thẳng hàng.
b. Gọi $D$ là trung điểm $BC$. Các đường tròn có tâm $M,N$ cùng đi qua $A$ cắt nhau tại $K$ khác $A$. Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $AK$ cắt $BC$ tại $E$. Đường tròn ngoại tiếp $ADE$ cắt $(O)$ tại $F$ khác $A$. Chứng minh $AF$ đi qua một điểm cố định.

a) Chú ý các tứ giác $APCB, APNM, BCMN, CPQN$ nội tiếp nên dùng góc ta thấy $A, P, Q$ thẳng hàng.
Chú ý: Khi trình bày nên dùng góc định hướng đỡ phụ thuộc hình vẽ.
b) Mấu chốt ý này chính là $AK$ đi qua $O$ nên $AE$ là tiếp tuyến. Tác giả đã ghép cơ học 2 bài lại với nhau.
Mấu chốt ý sau là tứ giác $ABFC$ điều hòa, cái này khá quen thuộc (chú ý 5 điểm A,B,F,D,O đồng viên).

huynhcongbang 04-01-2014 12:15 PM

1 Attachment(s)
Up cái hình cho rõ.

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]


hakudoshi 04-01-2014 12:44 PM

Trích:

Nguyên văn bởi thaygiaocht (Post 199205)
b) Mấu chốt ý này chính là $AK$ đi qua $O$ nên $AE$ là tiếp tuyến. Tác giả đã ghép cơ học 2 bài lại với nhau.

Trời đất ơi. Em chứng minh được $ A, K, O$ thẳng hàng và $AK \perp MN$ rồi không biết làm gì tiếp :go:

hansongkyung 04-01-2014 12:48 PM

Câu b,
[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]

Dễ thấy $O$ là trực tâm tam giác $AMN$ nên $AO \perp MN$. Mà $AK$ là trục đẳng phương của $(M)$ và $(N)$ nên $AK \perp MN$
Suy ra $O \in AK$

Từ đó suy ra tứ giác $AODE$ nội tiếp.

Vẽ đường tròn $(U)$ bán kính $OC$. Vì tam giác $ODC$ vuông tại $D$ nên $D \in (U)$. Cũng có $(U)$ tiếp xúc trong với $(O)$ nên tiếp tuyến của $(O)$ tại $C$ là trục đẳng phương của $(O)$ và $(U)$.
Xét 3 đường tròn $(ADO),(O),(U)$ suy ra $AF, OD, CC$ đồng quy.

Suy ra đpcm :-<

luugiangnam 04-01-2014 12:49 PM

Bài này cần góc định hướng nữa hả thầy Luật? Em chỉ nêu là tứ giác BMNC nội tiếp rồi ra luôn chứ ko xài GĐH.

thaygiaocht 04-01-2014 12:52 PM

Trích:

Nguyên văn bởi luugiangnam (Post 199215)
Bài này cần góc định hướng nữa hả thầy Luật? Em chỉ nêu là tứ giác BMNC nội tiếp rồi ra luôn chứ ko xài GĐH.

Viết "Các trường hợp khác chứng minh tương tự" cũng được. Trường hợp M, N nằm trên cạnh của tam giác có thể góc bằng sẽ thay đổi thành bù và ngược lại.

Conanvn 04-01-2014 02:07 PM

Có thể dùng luôn tính chất tứ giác điều hòa mà không chứng minh lại được không nhỉ?

hakudoshi 04-01-2014 02:11 PM

Trích:

Nguyên văn bởi thaygiaocht (Post 199217)
Viết "Các trường hợp khác chứng minh tương tự" cũng được. Trường hợp M, N nằm trên cạnh của tam giác có thể góc bằng sẽ thay đổi thành bù và ngược lại.

Từ $\widehat{ABN}=\widehat{ACM}$ suy ra
$(CM,CN) \equiv (BA,BN) \equiv (BM,BN) \pmod \pi$

hansongkyung 04-01-2014 02:59 PM

Trích:

Nguyên văn bởi hakudoshi (Post 199242)
Từ $\widehat{ABN}=\widehat{ACM}$ suy ra
$(CM,CN) \equiv (BA,BN) \equiv (BM,BN) \pmod \pi$

:toothgrin: Từ góc hình học chưa thể suy ra góc định hướng được. Vì nhỡ đâu nó ngược hướng thì làm sao?

hoca 04-01-2014 03:04 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Conanvn (Post 199241)
Có thể dùng luôn tính chất tứ giác điều hòa mà không chứng minh lại được không nhỉ?

hinh như có đấy bạn, trong cái giới hạn kiến thức được dùng ko có

vinhhai 04-01-2014 05:42 PM

VMO_bài 5
 
Ta có $OA = OC, MA = MC$ nên $MO \perp AC$ do đó $MO \perp AN.$
Tương tự ta có $NO \perp AB$ do đó $NO \perp AM.$
Tam giác $AMN$ có $O$ là trực tâm nên $AO \perp MN.$
Ta lại có $MA = MK, NA = NK$ nên $AK \perp MN$
Vì vậy, $A, O, K$ thẳng hàng.
Do $\angle OAE = \angle ODE = 90^0$ nên đường tròn $(ADE)$
nhận $OE$ làm đường kính.
Vì hai giao điểm $A, F$ đối xứng qua $EO$ nên từ $AE \perp AK$
ta suy ra $AE \perp AO$ hay $EA$ tiếp xúc $(O)$ thì ta cũng có
$EF$ tiếp xúc $(O).$
Điều này cho ta, so với đường tròn $(O)$, $AF$ là đối cực của $E.$
Cực của $AF$ là $E$ thuộc $BC$ thì cực của $BC$ là $G$ thuộc $AF$
Do $BC$ cố định nên $G$ cố định vì thế $AF$ đi qua $G$ cố định.


Múi giờ GMT. Hiện tại là 06:04 PM.

Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.

[page compression: 16.69 k/18.01 k (7.32%)]