Bài hình học tổ hợp VMO 2018 Mội nhà đầu tư có hai mảnh đất hình chữ nhật cùng kích thước $120m \times 100m$.
|
Trích:
Chia thành 9 hình chữ nhật nhỏ gồm 6 hình $30 \times 40$, 3 hình $40 \times 40$ nằm ngang liên tiếp nhau. *) Nếu có 1 hình chữ nhật mà không chứa điểm nào bên trong thì hiển nhiên. *) Ngược lại giả sử mỗi hình chữ nhật chứa đúng 1 điểm bên trong. Xét 3 điểm nằm trong 3 hình chữ nhật $40 \times 40$ liên tiếp nhau. Vẽ 3 đường thẳng đứng từ 3 điểm này. 3 đường dọc này với 2 cạnh dọc của hình chữ nhật lớn tạo thành 4 khoảng. Do đó tồn tại 1 khoảng có độ dài không vượt quá $120 / 4 = 30$. Done! 2) Từ 4 góc của mảnh đất vẽ 4 cung bán kính 5. Hiển nhiên, phải có 1 cạnh của đa giác đi vào mỗi hình quạt. Tại mỗi hình quạt ta lấy 1 điểm nằm trên cạnh nào đó của đa giác. Ta chỉ cần chứng minh cho tứ giác này là đủ. https://i.imgur.com/IBfxZiG.jpg Xét 1 góc ở đỉnh $A$ như hình trên. Hạ vuông góc $DB$, $DC$. Dễ thấy $DB + DC \le 5\sqrt{2}$. Từ đó chu vi tứ giác sẽ không nhỏ hơn $2(120 + 100) - 4.5\sqrt{2} = 440 - 20\sqrt{2}$. |
1 Attachment(s) Câu 3b có thể chứng minh bằng cách "duỗi" đường gấp khúc như hình dưới. |
Múi giờ GMT. Hiện tại là 03:28 AM. |
Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.