Đề ra kì này THTT số 431 tháng 5/2013
 

CÁC LỚP THCS

$\fbox{Bài T1/431.}$ (Lớp 6). So sánh $A$ và $B$, biết:
$$A = \left ( 1+ \frac{1}{2013} \right ) \left ( 1+ \frac{1}{2013^2} \right ) ... \left ( 1+ \frac{1}{2013^n} \right )$$
với $n$ là số nguyên dương và $B = \dfrac{2013^2-1}{2012^2-1}$.

$\fbox{Bài T2/431.}$ (Lớp 7). Trong mặt phẳng cho $4$ điểm, trong đó không có hai điểm nào có khoảng cách nhỏ hơn $\sqrt{2} \text{cm}$. Chứng minh rằng trong bốn điểm đó tồn tại hai điểm có khoảng cách lớn hơn hoặc bằng $2\text{cm}$.

$\fbox{Bài T3/431.}$ Tìm hai chữ số tận cùng của số:
$$2003^{2004^{.^{.^{.^{2013}}}}}$$

$\fbox{Bài T4/431.}$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 27 \sqrt{x} + 8 \sqrt{y}$, trong đó $x, y$ là các số thực không âm thỏa mãn $x \sqrt{1-y^2}+y \sqrt{1-x^2} = x^2 + y^2.$

$\fbox{Bài T5/431.}$ Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $I$ và $J$ theo thứ tự là trung điểm của $BD$ và $AC$. Chứng minh rằng $BD$ là phân giác của góc $AIC$ khi và chỉ khi $AC$ là phân giác của góc $BJD$.

CÁC LỚP THPT

$\fbox{Bài T6/431.}$ Giải hệ phương trình:
$$\begin{cases}
& x^3(1-x) + y^3(1-y) = 12xy+18 \\
& |3x-2y+10| + |2x-3y| = 10.
\end{cases}$$

$\fbox{Bài T7/431.}$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $ E = a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}$, trong đó $a, b, c$ là các số thực thỏa mãn điều kiện $a+b+c=0$ và $a^2+b^2+c^2=1$.

$\fbox{Bài T8/431.}$ Cho hình chóp $S.ABC$ có $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$, $O$ là trung điểm của $SG$. Một mặt phẳng $(\alpha)$ thay đổi qua điểm $(O)$ và cắt các cạnh $SA, SB, SC$ của hình chóp lần lượt tại các điểm $A', B', C'$. Chứng minh rằng:
$$\frac{SA'^2}{AA'^2} + \frac{SB'^2}{BB'^2} + \frac{SC'^2}{CC'^2} \ge \frac{AA'^2}{SA'^2} + \frac{BB'^2}{SB'^2} + \frac{CC'^2}{SC'^2}.$$

TIẾN TỚI OLYMPIC TOÁN

$\fbox{Bài T9/431.}$ Tìm số tự nhiên $n$ sao cho
$$A = \left [ \frac{n+3}{4} \right ] + \left [ \frac{n+5}{4} \right ] + \left [ \frac{n}{2} \right ] + n^2 + 3n -1$$
là số nguyên tố, trong đó kí hiệu $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.

$\fbox{Bài T10/431.}$ Cho hàm số $y = a \sin(x+2013) + \cos 2014x$ trong đó $a$ là số thực cho trước.
Gọi $M, m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $\mathbb{R}$. Chứng minh rằng $M^2 + m^2 \ge 2.$

$\fbox{Bài T11/431.}$ Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_1 = \dfrac{1}{2}$ và $a_{n+1} = \dfrac{a_n ^2}{a_n ^2 - a_n + 1}, \,\ n = 1,2 ,...$
a) Chứng minh dãy số $(a_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Đặt $b_n = a_1 + a_2 + ... + a_n $ với mỗi số nguyên dương $n$. Tìm phần nguyên $[b_n]$ và giới hạn $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} b_n$.

$\fbox{Bài T12/431.}$ Cho bốn điểm $A, B, C, D$ cùng nằm trên một đường tròn $(ABC)$. $M$ là một điểm không nằm trên đường tròn này. Gọi $T_i$ là các tam giác có $3$ đỉnh là $3$ trong $4$ điểm đã cho, trừ điểm $i \,\ (i = A, B, C, D)$. Gọi $H_i$ theo thứ tự là tam giác có $3$ đỉnh là hình chiếu vuông góc của $M$ xuống các cạnh (hoặc các cạnh kéo dài) của tam giác $T_i \,\ (i = A, B, C, D)$. Chứng minh rằng:
1) Tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $H_i \,\ (i = A, B, C, D)$ cùng nằm trên một đường tròn tâm $(O')$.
2) Khi chỉ $D$ thay đổi trên đường tròn $(ABC)$ thì tâm $O'$ nằm trên một đường tròn cố định.