Trên báo THTT tháng 12 có 1 chuyên đề về dùng tính đơn điệu hàm bậc nhất để chứng minh bất đẳng thức. Bài toán Ví dụ 2: ** Cho $ x, y, z \ge 0 $ và x+y+z=1. Chứng minh $4(xy+yz+zx) \le 9xyz+1 $ (*) Lời giải như sau:
Trích:
* Không giảm tổng quát giả sử $ x \ge y \ge z \Rightarrow 1 \ge x \ge \frac{1}{3} $ Ta có (*) $ \Leftrightarrow f(x)=x(9yz-4y-4z)+1-4yz \ge 0 $ Xét f(x) trên $[\frac{1}{3};1] $, để ý rằng khi x=1 thì y=z=0 và khi $x=\frac{1}{3} $ thì $y=z=\frac{1}{3} $. Ta có $f(1)=1;f(\frac{1}{3})=0 $ * Do đó $f(x) \ge min(f(1);f(\frac{1}{3}))=0 $ ĐTXR khi $x=y=z=\frac{1}{3} $.
Nhưng thầy mình bảo lời giải này sai, bởi vì nếu xét hàm theo x thì ta coi y, z là tham số cố định, như vậy không thể có
Trích:
để ý rằng khi x=1 thì y=z=0 và khi $x=\frac{1}{3} $ thì $y=z=\frac{1}{3} $.
Vậy ai đúng ai sai mong mọi người chỉ giáo:burnjosstick:
Sắp thi 30-4 mà còn lu bu thế này:(:(
than-dong
04-04-2012 07:43 PM
Mình nghĩ cách đưa về xét hàm bậc nhất là rất sáng tạo và đúng mà. Chỉ có một điều là phương pháp này thường ít nghĩ tới thôi, khi làm BDT người ta hay nghĩ tới mấy cái Am-Gm, C-S,.... thôi.:gach:
VinhPhucNK
12-04-2012 12:57 PM
Chà bài trên THTT làm sao sai được nhỉ?:-< Mình thấy lập luận rất chặt chẽ mà. Do x=max{x;y;z} nên $x=\frac{1}{3} \Rightarrow y=z=\frac{1}{3} $. Do x+y+z=1 nên $x=1 \Rightarrow y=z=0 $ Thầy bạn bảo giải sai chỗ nào?
tungkl140895
12-04-2012 01:52 PM
Mình cũng thấy bài giải của cậu là đung mà
minhnvse02513
12-04-2012 03:35 PM
Chỗ này mình nghĩ thầy của bạn nói đúng đó. Vì khi đã coi đó là hàm của x thì y và z là tham số nên có giá trị cố định. Không thể có chuyện giá trị của y và z phụ thuộc vào giá trị của x được!!!
Nguyenhuyen_AG
12-04-2012 04:35 PM
Trích:
Nguyên văn bởi VinhPhucNK (Post 144385)
Chà bài trên THTT làm sao sai được nhỉ?:-<
Cái này thì chưa chắc nhé em.
dduclam
12-04-2012 09:05 PM
Chỉ cần nhìn câu kết luận đã thấy lời giải này có vấn đề rồi. Lời giải sử dụng một tính chất của đường thẳng là hàm bậc nhất $f(x)=ax+b$ chỉ đạt GTLN, GTNN tại các điểm đầu mút (*), cụ thể ở đây là 1 và $\frac1{3}$. Tuy nhiên BĐT trên còn 1 trường hợp dấu bằng nữa là khi $x=\frac1{2}$ (và $y=\frac1{2},z=0$) mà nếu giải như thế thì dấu bằng này "biến mất".
Ta có (*) là đúng, nhưng chỉ cho hàm bậc nhất, nghĩa là $a,b$ phải thực sự là hằng đối với $x$. Hàm $f(x)$ ở lời giải trên không đáp ứng được yêu cầu này.
