đề kiểm tra chất lượng đội tuyển THPT chuyên Hà TĨnh
 

Bài 1 : (5 điểm) Cho cấp số cộng dương $a_{1},a_{2},...$ và cấp số nhân dương $b_{1},b_{2},...$. Gỉa sử $a_{1}=b_{1},a_{2014}=b_{2014}$. So sánh $a_k$ và $b_k$ với $k\in \mathbb{N}^{*}$

Bài 2 : (5 điểm)

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p$ thì $p^{3}+\frac{p-1}{2}$ không phải là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.

b) Cho các số nguyên dương $a,b$ sao cho $ab$ là số chính phương. Chứng minh rằng đa thức $x^{a}+x^{b}+1$ không chia hết cho đa thức $x^2+x+1$.

Bài 3 : (5 điểm) Cho tam giác đều $ABC$ và điểm $D$ di động trên đoạn thẳng $BC$. Gọi $I$ là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc $D$ của tam giác $ABD$ và $J$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $D$ của tam giác $ACD$. Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AIB$ và $AJC$ lần lượt là $O_1$ và $O_2$

a) Chứng minh rằng đường tròn đường kính $O_1O_2$ đi qua $D$.

b) Gọi $F$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $ẠJI$ và $E$ là giao điểm khác $A$ của $(O_1)$ và $(O_2)$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $EF$ cắt $EI,EJ$ lần lượt tại $P,Q$.

Chứng minh $\frac{AI^{2}}{AJ^{2}}=\frac{IP}{JQ}$

Bài 4 : (5 điểm)

a) Tồn tại hay không các số thực $a_{ij}\in \left [ 0;1 \right ]$$\forall i=\overline{1,2013},j=\overline{1,2014}$ thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{\sqrt[2014]{mn}}\sum_{i=1}^{m}\sum_{i=1}^{m}a_{ij}=1\;\forall m=\overline{1,2013},n=\overline{1,2014}$ ?

b) Trên bàn cờ vua có một số quân cờ. Biết rằng nếu một ô nào đó còn trống thì tổng số lượng những quân cờ đứng cùng hàng và cùng cột với ô đó không nhỏ hơn $8$. Chứng minh rằng trên bàn cờ đó có ít nhất $32$ quân cờ.