Định lý Fermat nhỏ, chứng minh và...
 

THiết nghĩ là một môn học thú vị là nữ hoàng toán học nên mình lập topic này để chúng ta chinh phục được người phụ nữ này !
Xin mở đầu :Ta hãy cùng tìm lời giải cho định lý Ferma nhỏ :
Cho a nguyên dương và p là nguyên tố .Cminh :$a^p-a $chia hết cho p

Quy nạp theo a.
Nếu a=1 thì điều cần chứng minh là đúng. Giả sử mệnh đề đúng với a=k>0, ta có $(k+1)^p-(k+1) $

$=\sum_{i=0}^pC_p^ik^i-k-1 $

$=(k^p-k)+\sum_{1\leq i\leq p-1}C_p^ik^i $
Dùng giả thiết quy nạp và $p|C_p^i\forall i=\overline{1,p-1} $ ta có $(k+1)^p-(k+1) $ chia hết cho $p $.

Có 2 chữ p, nó có khác nhau không Quân?

À, thế anh nhớ ra rồi , nó là ISL 2003.

Chú cho bài khác đi, à hay mọi người ai biết cách chứng minh khác của Định lý Fermat bé thì post lên xem có bao nhiêu cách?

Cách khác chứng minh Định lý Fermat bé: Nhóm nhân của $\mathbb{F}_p $ có bậc p-1 nên $a^{p-1}-1 $ chia hết cho p với mỗi a không là bội của p. Xong!

có cách suy ra từ định lí $euler $ :$(a,m)=1 $,khi đó $a^ \varphi (m)\equiv 1 (mod m) $ ,$m $ nguyên tố thì $\varphi (m)=m-1 $

Còn một cách chứng minh nữa cho định lý Fermat bé là dùng tổ hợp như sau:

Ta giải bài toán sau: Một đường tròn được chia thành p cung bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu cách tô màu các cung bằng a màu? Hai cách tô thu được qua một phép quay được coi là giống nhau.

Lời giải: Ta đánh số các cung từ 1 đến p. Nếu không tính đến phép quay thì có $a^p $ cách tô các cung. Nếu tính đến phép quay thì mỗi một cách tô có 2 màu trở lên sẽ nằm trong 1 lớp với p cách tô khác. Có a cách tô chỉ dùng 1 màu. Vì thế số cách tô sẽ là
$a + \frac{a^p-a}{p} $
Vì số cách tô phải là một số nguyên nên ta có điều phải chứng minh.

Cách chứng minh lạ. Phải không các bạn?

cách này lạ quá và hơi khó hiểu, có cách nào nữa không thầy:dreamer:

Còn 1 cách kinh điển khác là xét hệ thặng dư đầy đủ mô-đun p. Nếu (a, p) = 1 thì ax sẽ chạy qua hệ thặng dư đầy đủ mod p khi x chạy qua hệ thặng dư đầy đủ mod p. Đó cũng là cách để chứng minh định lý Euler (thay hệ thặng dư đầy đủ bằng hệ thặng dư thu gọn).

Giống cái này [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] anh ạ.