Diễn Đàn MathScope - Thi chọn HSGQG năm 2010-Đề thi và kết quả

Diễn Đàn MathScope (http://forum.mathscope.org/index.php)

- Việt Nam và IMO (http://forum.mathscope.org/forumdisplay.php?f=144)

- - Thi chọn HSGQG năm 2010-Đề thi và kết quả (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=11033)

Thi chọn HSGQG năm 2010-Đề thi và kết quả

Chúc mọi người đang và sẽ chuẩn bị thi quốc gia đạt kết quả tốt nhất. Đặc biệt là các anh,chị ở sư phạm.
--------------------------------------

Trích:

Nguyên văn bởi chemthan (Post 51652)

Câu 1. Giải hệ
$x^4-y^4=240 $.
$x^3-2y^3=3(x^2-4y^2)-4(x-8y) $.
Câu 2. $a_1=5, a_n=(a_{n-1}^{n-1}+2^{n-1}+2.3^{n-1})^{\frac{1}{n}} $.
a. Tìm công thức tổng quát của dãy $a_n $.
b. Chứng minh rằng dãy $a_n $ giảm.
Câu 3. Cho đường tròn $(O) $. Hai điểm $B,C $ cố định trên đường tròn, $ BC $không phải đường kính. Lấy $A $ là một điểm trên đường tròn không trùng với $B,C $. $AB $ khác $AC $. $AD,AE $ là các đường phân giác trong và ngoài. $I $ là trung điểm của $DE $. Qua trực tâm tam giác $ABC $ kẻ đường thẳng vuông góc với $AI $ cắt $AD,AE $ tại $M,N $.
a. Chứng minh rằng $MN $ luôn đi qua một điểm cố định.
b. Xác định vị trí điểm $A $ sao cho $S_{AMN} $ lớn nhất.
Câu 4. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n $ phương trình $x^2+15y^2=4^n $ có ít nhất $n $ nghiệm tự nhiên.
Câu 5. Cho bảng $3.3 $ và $n $ là một số nguyên dương cho trước. Tìm số các cách tô màu không như nhau khi tô mỗi ô bởi 1 trong $n $ màu.
Hai cách tô màu gọi la như nhau nếu 1 cách nhận được từ cách kia bởi 1 phép quay quanh tâm.

Kết quả của các thí sinh: trang 40 của topic

Câu 1 thì PT 1 - vế theo vế PT2x8
Kết quả sẽ là $(4;2),(4;-2),(-4;-2),(-4;2) $
Bài 2,4 thì ngon chứ bài 3-5 thì pó tay
Rớt rồi T_T

được đấy, nếu làm thế sẽ ra được $(x-2)^4=(y-4)^4 $ đấy

Lời giải bài 1 của tớ:
(1)-8.(2) $\leftrightarrow (x^4-8x^3=24x^2-32x+16)=(y^4-16y^3+96y^2-256y+256) \leftrightarrow (x-2)^4=(y-4)^2 $
Suy ra $x+y=2 $ (Do x>y)
Thay vào phương trình đầu, thế là xong

Trích:

Nguyên văn bởi huy2710 (Post 51658)

được đấy, nếu làm thế sẽ ra được $(x-2)^4=(y-4)^4 $ đấy

nó thành thế này chứ------>
$x(x-4)({{x}^{2}}-4x+8)=(y-6)(y-2)({{y}^{2}}-8y+20) $

Trích:

Nguyên văn bởi huy2710 (Post 51661)

sao lại x>y nhi,tu pt dầu tiên chỉ có /x/ > /y/ thui mà

Có ai làm đc bài 5 ko, post bài giải đi, thất vọng wa'
Bài 4 thì qui nạp thôi, $(x_0,y_0) $ là nghiệm của $x^2+15y^2=4^n $thì $(2x_0,2y_0) $ là nghiệm của $x^2+15y^2=4^{n+1} $
Chứng minh thêm pt $x^2+15y^2=4^{n+1} $ có thêm 1 nghiệm khác nữa là xong
------------------------------

Trích:

Nguyên văn bởi hoangminhtuan (Post 51663)

sao lại x>y nhi,tu pt dầu tiên chỉ có /x/ > /y/ thui mà

Uhm`, lỗi mình, lại sai nữa rồi X_X

Bài 1, anh giải hơi bị cùi bắp:

Trích:

Nguyên văn bởi toanlc_gift (Post 51662)

nó thành thế này chứ------>
$x(x-4)({{x}^{2}}-4x+8)=(y-6)(y-2)({{y}^{2}}-8y+20) $

Không, đúng đấy, $x^4-4.2x^3+6.2^2x^2-4.2^3x+2^4=(x-2)^4 $

Hu hu,rớt 100 phần trăm rồi.Hẹn năm sau vậy.
Bài 5 kết quả là $\frac{n^9+n^5+2n^3}{4} $ thì phải.
Trong phòng thi làm lọan xạ cả lên :(( Chả đc bài nào đàng hòang.

chỉ vì bài hệ mà...........??????????
Ai cay bài hệ rơ tay

mình nghĩ chắc chỉ có khoảng 30% TS điểm >=10 thôi.
Nếu lấy đủ 60% thì tốt.

rớt chắc rồi, k wan tâm chiện đó nữa, đội nào có ng` full k? lên tiếng đi

Đánh số các ô từ 1 tới 9
Gọi $a_1,...a_9 $ lần lượt là màu ở ô 1 tới ô 9.Ta nói $a_i=a_j $ nếu ô i và j được tô cùng màu.
Nhận xét rằng nếu $a_1=a_9=x,a_2=a_8=y,a_3=a_7=z,a_4=a_6=t $ và $x \neq z $ hoặc $y \neq t $ thì xoay 180 độ quanh tâm sẽ ra cách tô trùng với cách tô trước khi xoay,còn 2 cách xoay còn lại không trùng (mặc dù vẫn tính là 2 cách tô như nhau).(1)
Còn nếu $x=z,y=t $ thì xoay 90 độ,270 độ,180 độ đều ra cách tô trùng với cách tô ban đầu.(2)
Ô trung tâm không đổi khi xoay,dễ thấy có n cách tô ô trung tâm.
Số cách tô thỏa (1) là $n.\frac{n^4-n^2}{2} $ (chia 2 do xoay 90 độ tính là 2 cách tô như nhau).
Số cách tô thỏa (2) là $n.n^2 $.
Số cách tô không thỏa (1) và (2) là $n.\frac{n^8-n^4}{4} $
Vậy tổng số cách tô là $\frac{n^9+n^5+2n^3}{4} $
Chắc là có sai sót,mong mọi người sửa giùm mình,mình đang mất bình tĩnh.

Bài hệ làm như cách anh Cẩn là oke mà! còn cách mà các bạn nghĩ ra ở trên thì các bạn khai triển giỏi thật =p~