Cần thẩm định tính đúng sai của bài bất đẳng thức $x^{2}+y^{2}+z^{2}...$
 

Em xin trình bài cách giải bài bất đẳng thức Moskva-2000 mong anh chị giúp em thẩm định các giải em thấy cứ sao đâu đó có gì đó vướn thì phải nhưng em không nhận ra.

Đề : Cho $x,y,z$ là ba số thực dương thỏa $xyz=1$. Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+x+y+z\geq 2(xy+yz+xz)$

Lời giải:

Không mất tính tổng quát ta giả sử $x=min(x,y,z)$ vì vậy $x\in (0;1]$.

Xét hàm số $f(x)=x^2-(2y+2z-1)x+y+z+y^2+z^2$

Ta thấy rằng: $f'(x)=2x-2y-2z+1\leq 0$ (do $y,z\geq 1$)

Vì vậy $f(x)\geq f(1)$ mà $f(1)=0$ (vì khi $x=1$ do $x$ là nhỏ nhất và $xyz=1$ nên $y=z=1$ khi đó $f(1)=0$)

Vậy $f(x)\geq 0 \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+x+y+z\geq 2(xy+yz+xz)$

Thật sự nhìn vào em không nhận ra lỗi nhưng đoạn đánh giá $f(1)$ của em, em có thể vận dụng giả thiết nữa hay không dạ?:!

Cách này của bác mình thấy cũng không ổn. Bác thử áp dụng cho những bài bất đẳng thức sai như $a^2+b^2+c^2+3abc \ge 6$ với $a+b+c=3$ thử coi sao thì biết.
:-<

Tớ thắc mắc phải là $yz \geq 1$ chứ sao là $y,z\geq 1$

Đã thử rồi anh ạ!!

phương pháp vẫn áp dụng được vì hàm $f=a^2+b^2+c^2+3abc-6$ là hàm tăng (em thêm vào giả thiết $a,b,c$ không âm đó ạ!)nhưng $f(0)<0$ mà nên đâu kết luận gì được đâu.

em làm giống cách anh cẩn làm trong toán tuổi trẻ tháng 6 nhưng không biết sao cứ thấy lạ làm sao đó!!
------------------------------
da em ghi nhầm ạ!! nhưng nó không ảnh hưởng ạ! vì $yz \geq 1$ nên có một trong hai số đó lơn hơn một số kia vẫn lơn hơn $x$ vì vậy kết quả $f'$ vẫn không dương ạ!!

Bài này mình nghĩ nên sử dụng bất đẳng Schur để giải tốt hơn là dùng phương pháp đạo hàm đó bạn.
------------------------------
Xin lỗi bạn, sáng này mình không để ý. Bạn thử dùng phương pháp của bạn kiểm tra lại bất đẳng thức sau thử xem sao:
Với $a, b, c$ dương mà $abc=1$. Chứng minh $a^2+b^2+c^2+9 \ge 4(ab+bc+ca)$.
Bất đẳng thức này sai nhé bạn.

Bạn sử dụng bất đẳng thức sau đây
$ x^2 + y^ + z^2+ 2xyx>= 2(xy+yz+zx)$

Bất đẳng thức này mới đúng bạn ơi $x^2+y^2+z^2+2xyz+1 \ge 2(xy+yz+zx)$
:!

bài này thấy được tính đối xứng 3 biến nên ta có thể nghĩ ngay đến BĐT schur chơ đạo hàm thì hơi khó khăn,ngoài ra bạn cũng có thể tiếp cận bài toán theo phương pháp tam thức bậc 2 :!