Đề thi và lời giải đề VN TST 2000
 

Mình xin gửi mọi người đề thi và lời giải đề chọn đội tuyển thi IMO năm 2000.
Một số đặc điểm của đề thi này là:
- Bài 1. Đây là một bài hình học phẳng khá dễ, mức độ dưới cả đề thi quốc gia; ý tưởng được tìm thấy rất rõ từ việc xây dựng các điểm.

- Bài 2. Toàn bộ phát biểu và lời giải cho bài này đều dựa trên định lí Beatty, chứng minh đầy đủ của nó có thể tìm thấy tại đây:
[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]
Có thể nói dãy số được xác định rất khéo léo và đẹp, đa thức được đưa ra trong lời giải thực ra có thể tìm được nhờ lập luận một cách hợp lí.

- Bài 3. Cách phát biểu của bài đa thức này không mới và nó cũng từng xuất hiện ở một số đề thi trước với bậc đa thức nhỏ hơn. Các ý tưởng giải tích và kiểu xây dựng, chọn giá trị trong lời giải mang đặc trưng của môn Giải tích của Toán cao cấp khá nhiều.

- Bài 4. Đây là một bài toán phát triển từ bài IMO 1983 với đề yêu cầu tìm số bướng bỉnh lớn nhất:
[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]
Bài toán đặt ra trong trường hợp này là tìm tất cả các số bướng bỉnh (đếm số dương chứ không phải đếm số không âm như trong đề IMO). Vấn đề thú vị hơn rất nhiều và cách đếm bằng song ánh thực sự rất ấn tượng.

- Bài 5. Điểm khó trong bài này chính là việc sử lí các biểu thức phức tạp. Nhờ việc áp dụng liên tiếp giả thiết, ý thứ 1 của bài toán có thể giải được một cách tự nhiên trong điều kiện có thời gian rộng rãi. Ý thứ 2 của bài toán tuy không khó nhưng liên quan đến việc xây dựng, dạng ít gặp trong các đề thi VN nên nói chung không dễ dàng để xử lí.

- Bài 6. Đây là một bài cực trị rời rạc với phát biểu khá đẹp. Việc dự đoán và đưa ra một trường hợp mà cực trị xảy ra trong khá dễ, còn việc chứng minh đó là số giao điểm nhỏ nhất mới chính là điều khó nhất trong bài toán này.
Trên diendantoanhoc từng có một nhận xét tổng quát với n đường tròn bất kì cho bài toán này.

Trong tài liệu này, các bài 2, 3, 6 mình tham khảo trong cuốn "Selected problems from Vietnam MO + TST 1990 to 2006" trong kì thi IMO 2007, bài 4 là của anh Traum, bài 5 là của bạn Highschoolmath. Nói chung trong đề này mình chỉ tổng hợp lại thôi. Mong rằng tài liệu này sẽ có ích với mọi người! :)