Đề thi và lời giải đề TST bổ sung 2005
 

Như mọi người đã biết, kì thi chọn đội tuyển năm 2005 xảy ra nhiều vấn đề nên Cục khảo thí phải tổ chức thêm một kì thi bổ sung nữa dành cho 3 thí sinh (trong đó có 1 người đã được chọn từ trước đó và 2 người khiếu nại) để lấy ra 1 suất duy nhất.
Dưới đây là đề thi và lời giải của kì thi đó, 3 bài toán giải trong thời gian 4 giờ.

Bài hình học đầu tiên là sự kết hợp của nhiều yếu tố phụ nhưng không khó, chỉ cần vẽ hình chính xác, chịu khó suy nghĩ chút là được.
Bài số học lấy bổ đề từ kì thi Putnam và chế biến lại thành một bài toán khác (ý tưởng về bổ đề không phải quá khó để nhìn nhận ra).
Bài tổ hợp rất khó và hiện giờ, phần 1 của bài này vẫn chưa được giải đầy đủ trong trường hợp n lẻ.
Câu 1, 2 mình tự trình bày lời giải (trong đó phần chứng minh số A dương vẫn chưa được đầy đủ), câu 3 mình lấy hoàn toàn lời giải của anh Traum. Nếu có dịp mình sẽ trình bày lại đầy đủ, rõ ràng các lời giải đó sau.
Hy vọng mọi người sẽ đóng góp thêm lời giải cho câu 3.1 để tài liệu này được hoàn chỉnh. :)
Các bạn có thể tham khảo nhận xét dưới đây của thầy Dũng về kì thi đó:
[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]

Tự nhiên có dịp gặp lại bài này

Bài 3a có thể chứng minh như sau.

Bổ đề. Với hình 2x3 thì ta chỉ tô được không quá 3 ô.

Trở lại bài toán. Với n=6k+1 thì chia hình 6k x 6k+1 thành các hình 2x3 và còn một cột. Khi đó số ô được đánh dấu ko quá 3k(6k+1)+4k+1.

Tương tự cho các th khác.