Đề thi các trường và các tỉnh 2012-2013 Lời giải và bình luận
 

Hôm nay là 1/10 và mùa chọn đội tuyển cho VMO 2013 ở các trường và các tỉnh đã thực sự khởi động. Đến nay đã có Hưng Yên, Đà Nẵng, Hà Tĩnh lập xong đội tuyển, ĐHKHTN cũng thi xong vòng thứ nhất, các đội tuyển PTNK, TpHCM, Lam Sơn Thanh Hóa, Lương Thế Vinh Đồng Nai ... cũng ra quân trong tuần này.

Tôi tiếp tục mở chuyên mục này để chúng ta thảo luận về các đề thi ở các trường, các tỉnh năm nay, nhằm đem đến cho các bạn học sinh đang chuẩn bị cho VMO 2013 không chỉ là đáp án, lời giải, mà còn là những phương pháp áp dụng trong các bài toán đó, xuất xứ của bài toán và những bài toán tương tự.

Như thường lệ, chúng ta sẽ chia các bài toán thành các chủ đề sau:

1. Bất đẳng thức
2. Dãy số và giới hạn
3. Hàm số, đa thức & phương trình hàm
4. Phương trình và hệ phương trình
5. Số học
6. Tổ hợp
7. Hình học
8. Một số bài toán khác

Tôi sẽ tập hợp các đề toán theo từng chủ đề, gửi lên đây và chúng ta có thể vào giải và bình luận. Có thể bình luận trực tiếp trong chủ đề này hoặc là gửi file đính kèm.

Chúc các bạn học sinh một mùa ôn luyện nhiều niềm vui và thành công.

Chúng ta bắt đầu bằng chủ đề Tổ hợp với 9 bài toán đầu tiên.

Tôi quên một chủ đề quan trọng là phương trình và hệ phương trình.

Một vấn đề tôi muốn chúng ta cùng thảo luận thêm là kỹ thuật viết hướng dẫn và đặt câu hỏi gợi ý. Suy cho cùng, các bạn học sinh sẽ cần đến những câu hỏi gợi ý này hơn là cần lời giải chi tiết. Sau đây, tôi sẽ phân tích một số bài trong đề thi với bộ những câu hỏi gợi ý.

1. (Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa) Giả sử n là một số tự nhiên không nhỏ hơn 3. Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm n điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Mỗi cặp điểm thuộc P được nối với nhau bởi một đoạn thẳng và tô màu trắng hoặc đỏ. Tìm số nhỏ nhất các đoạn thẳng đỏ sao cho bất cứ tam giác nào với 3 đỉnh thuộc P cũng có ít nhất một cạnh đỏ.

Các câu hỏi gợi ý:

1. Có thể phát biểu bài toán như thế nào trên ngôn ngữ các đoạn thẳng màu trắng?
--> Tìm số lớn nhất các đoạn thẳng trắng sao cho không tồn tại tam giác toàn màu trắng.
2. Hãy thử dự đoán kết quả?
--> Với n = 3, đáp số của câu hỏi ở 1. là 2, n = 4, đáp số là 4. n = 5, đáp số là 6 ... Quá trình xây dựng ví dụ có thể dẫn đến dự đoán đáp số là $[\frac{n}{2}][\frac{n+1}{2}] $ hay $[\frac{n^2}{4}] $.
3. Hãy thử chứng minh bằng quy nạp.
4. Bài toán này có liên quan đến định lý nào trong lý thuyết đồ thị? (Định lý Mantel-Turan)

2. (Hưng Yên, vòng chung khảo) Trong mặt phẳng cho $n $ điểm $A_1, A_2, ....., A_n $ $(n \ge 4) $ sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng và không có 4 điểm nào cùng nằm trên 1 đường tròn. Gọi $a_t $ $(1 \le t \le n) $ là số các đường tròn ngoại tiếp tam giác $A_iA_jA_k $ $(1 \le i < j < k \le n) $ chứa điểm $A_t $. Đặt $N = a_1 + a_2 + ... + a_n. $ Chứng minh rằng các điểm $A_1, A_2, ...., A_n $ là các đỉnh của một đa giác lồi khi và chỉ khi $N = \frac{n^4-6n^3+11n^2-6n}{12} $.

Các câu hỏi gợi ý:

1. Hãy bắt đầu từ trường hợp n = 4.
2. Bản chất của số $\frac{n^4-6n^3+11n^2-6n}{12} $ là gì?
3. Hãy tính tổng N theo từng tứ giác.

Bác Dũng ơi, năm nay hi vọng bác làm tổng hợp có bình luận như năm 2008 để cho việc đọc được dễ dàng. :gach::gach::gach::gach::

Thêm phần Phương trình - Hệ phương trình và chủ đề Phương trình Hàm - Đa thức

Thưa thầy em xin đưa ý tưởng giải các bài PT - HPT được đưa ra. Còn bài 2 và bài 4.1 em sẽ bổ sung và lập 1 file hoàn chỉnh sau ạ. Cho em hỏi bài 4.1 đề có nhầm gì không ạ?

Bài 1: $(26-x)\sqrt{5x-1}-(13x+14)\sqrt{5-2x}+12\sqrt{(5x-1)(5-2x)}=18x+32$


Bài 3: $\left\{ \begin{align}
& x+\sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}={{3}^{y-1}}+1 \\
& y+\sqrt{{{y}^{2}}-2y+2}={{3}^{x-1}}+1 \\
\end{align} \right.$




Bài 4.2: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{2}}{{y}^{3}}+3{{x}^{2}}-4x+2=0\ (1) \\
{{x}^{2}}{{y}^{2}}-2x+{{y}^{2}}=0\ (2) \\
\end{array} \right.$





Bài 5:$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
(\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x)(\sqrt{{{y}^{2}}+1}+y)=1\ (1) \\
4\sqrt{x+2}+\sqrt{22-3x}={{y}^{2}}+8 \\
\end{array} \right.$



Bài 6:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{\left( \frac{1-{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}} \right)}^{3}}+xy+\frac{3}{2}={{y}^{3}} \ (1) \\
{{(xy+2)}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}=2y+\frac{4}{x}\ (2) \\
\end{array} \right.$






Công sức 1 buổi tối ... :-h

TrauBo .. trâu bò quá :Secretsmile:
Làm nốt bài 2 nè:

Bài 2: $\sqrt{2-\sqrt{2}(x+1)}+\sqrt[4]{2x}=1\ (*)$
Chia 2 vế của (*) cho $\sqrt[4]{2}$:
$$\sqrt{\sqrt{2}-(x+1)}=\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}-\sqrt[4]{x}$$
Bình phương ta có $$\sqrt{2}-(x+1)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{x}-2\sqrt[4]{\dfrac{x}{2}}$$
Đặt $a=\sqrt[4]{2} ; \ y=\sqrt[4]{x}$ suy ra $$a^2-(y^4+1)=\dfrac{1}{a^2}+y^2-\dfrac{2y}{a} \Leftrightarrow a^4-a^2y^2-a^2=1+a^2y^2-2ay$$
Nghĩa là $a^2(y^2+1)^2=(ay+1)^2 $, suy ra $a(y^2+1)=ay+1$ hoặc $a(y^2+1)=-ay-1$ (loại).
Từ đó tìm được $y$, suy ra $x$.

Cảm ơn mọi người. Vậy là ta tạm xong phần PT - HPT. Sẽ chờ cập nhật các đề khác. :)
Cho TrauBo hỏi bài 1 có ai có cách giải tự nhiên hơn không ạ? :))

Em xin phép đóng góp vài ý cho phần tổ hợp.
Câu 2:
Câu 3:
Câu 7:
Câu 8:
Câu 9:
Các bài còn lại đều đã được thảo luận trên diễn đàn.

Cảm ơn mọi người đã đóng góp rất nhiệt tình cho chủ đề, đặc biệt là các bạn nguyentatthu, traubo, kien10a1.

Gửi tiếp các bạn các bài toán thuộc chủ đề Dãy số và Giới hạn dãy số.

Hình như đến đây chưa "dễ dàng" giải tiếp được đâu. Bạn có thể nêu hướng giải quyết cụ thể phần còn lại được không?

Cách lớp 9 như nào vậy bạn?

Sau khi đến đoạn nhân liên hợp như bạn TrauBo, bạn chuyển $x,y $ sang 1 bên, 2 căn thức sang 1 bên, nhân liên hợp tiếp bên căn thức và đặt nhân tử chung là $x+y $ là được.

Không quá dễ nhưng cũng không quá khó. Do biết 2 nghiệm $x=-1,x=2$ nên ta sẽ viết phương trình cát tuyến của các biểu thức trong phương trình để dùng liên hợp:
$$\begin{aligned} & 4\sqrt{x+2}+\sqrt{22-3x}=x^2+8 \\& \Leftrightarrow 12\sqrt{x+2}+3\sqrt{22-3x}=3x^2+24 \\& \Leftrightarrow 12\sqrt{x+2}-(4x+16)+3\sqrt{22-3x}-(14-x)=3x^2-3x-6 \\& \Leftrightarrow \dfrac{-16x^2+16x+32}{12\sqrt{x+2}+4x+16} + \dfrac{-x^2+x+2}{3\sqrt{22-3x}+14-x}=3x^2-3x-6 \\& \Leftrightarrow (x+1)(x-2) \left [ 3+\dfrac{16}{12\sqrt{x+2}+4x+16} + \dfrac{1}{3\sqrt{22-3x}+14-x} \right ] =0 \\& \Leftrightarrow x = -1 \vee x=2 \\ \end{aligned}$$
Do với $-2 \le x \le \dfrac{22}{3}$ thì biểu thức trong ngoặc dương.


Đây thì lớp 9 :matrix:
Từ $(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1$ suy ra $\begin{cases} x+\sqrt{x^2+1}=\dfrac{1}{y+\sqrt{y^2+1}}=\sqrt{y^2 +1}-y \\ y+\sqrt{y^2+1}=\dfrac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{x^2 +1}-x \end{cases}$
Cộng vế theo vế suy ra $x+y=-(x+y) \Leftrightarrow x+y=0$.

Em xin đóng góp ý kiến cho phần Dãy số và giới hạn:

Bài 1:



Bài 2:



Bài 3:



Các bài còn lại đều đã có trên diễn đàn.

Bạn có thể tính vài số hạng đầu tiên của dãy để thấy thực sự đây không phải là dãy tăng.

Vấn đề của bạn là không để ý đến điểm gián đoạn của hàm f(x).