Topic về nguyên hàm và tích phân
 

Chào các bạn. Mình thấy dạo này trên diễn đàn xuất hiện khá nhiều các bài BĐT, dường như ngày nào vô diễn đàn cũng đều thấy các chủ đề về BĐT. Theo như mình thấy các bài toán nguyên hàm và tích phân lời giải thường khá cơ bản, phù hợp với nhiều trình độ từ THPT tới ĐH. Do vừa mới học xong THPT nên kiến thức mình nắm chưa được nhiều nhưng cũng xin mạn phép mở 1 topic về chủ đề này, mong mọi người ủng hộ=p~

Lưu ý trước mỗi đề bài các bạn phải ghi rõ bài mấy và bôi đen gạch dưới cho mọi người tiện theo dõi. Đặc trưng của các bài này là lời giải thường không quá dài nên hy vọng các bạn cố gắng trình bày cho ra đáp số cuối cùng. Mình xin bắt đầu bằng 1 bài

Bài 1: Tìm nguyên hàm: $\int{\frac{{{x}^{2}}}{{{(\cos x+x\sin x)}^{2}}}dx} $

Đặt $f=\dfrac{x}{\cos x} $ và $dg = \dfrac{x\cos x}{(\cos x+x\sin x)^2}dx $. Khi đó


Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có


Sau khi rút gọn, ta được


Bài 2. Tìm nguyên hàm: $\int{\dfrac{1+\sin x}{1+\cos x}e^xdx} $

Bài 2: Không biết nói sao
Nói chung là tách $ \frac{1+sinx}{1+cosx}=g(x)+g'(x) $

$F(x)=2tan(x/2).e^x $

Mình không khuyến khích bài post kiểu này,với lại mình thực sự chưa hiểu ý bạn là gi:banzai:

$\int\frac{x^2}{\left(x\sin x+\cos x\right)^2}dx $

Now $\left(x\sin x+\cos x\right)=\sqrt{x^2+1}\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}. \cos x+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.\sin x\right) $

Now Let $\sin \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} $

and $\cos \theta =\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} $

so $\tan \theta =x\Leftrightarrow \theta =\tan^{-1} x $

$\left(x\sin x+\cos x\right)=\sqrt{x^2+1}\left(\cos x\cos \theta+\sin x\sin \theta\right)=\sqrt{x^2+1}.\cos(x-\theta)=\sqrt{x^2+1}.\cos\left(x-\tan^{-1} x\right) $

$\int\frac{x^2}{\left(x^2+1\right).\cos^2\left(x-\tan^{-1} x\right)}dx $

$\int\sec^2 \left(x-\tan^{-1} x\right).\frac{x^2}{1+x^2}dx $

Now $x-\tan^{-1}x=t\Leftrightarrow \left(1-\frac{1}{1+x^2}\right)dx=dt\Leftrightarrow \frac{x^2}{1+x^2}dx=dt $

$\int\sec^2 tdt =\tan \left(t\right)+C $

$=\tan\left(x-\tan^{-1} x\right)+C $

$=\frac{\tan x-\tan(\tan^{-1} x)}{1+\tan x.\tan(\tan^{-1} x)}+C $

$=\frac{\tan x- x}{1+x.\tan x}+C $

$=\frac{\sin x-x.\cos x}{\cos x+x.\sin x}+C $
------------------------------
Bài 3: Tìm nguyên hàm: $\displaystyle \int{\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}dx} $

$I=\int{\frac{1+\sin x}{1+\cos x}{{e}^{x}}dx=}\int{\frac{1+\sin x}{1+\cos x}d({{e}^{x}})={{e}^{x}}\frac{1+\sin x}{1+\cos x}-\int{{{e}^{x}}d\left( \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \right)}} $

$={{e}^{x}}\frac{1+\sin x}{1+\cos x}-\int{{{e}^{x}}\frac{1+\cos x+\sin x}{{{(1+\cos x)}^{2}}}dx=}{{e}^{x}}\frac{1+\sin x}{1+\cos x}-\int{\frac{{{e}^{x}}dx}{1+\cos x}-}\int{\frac{{{e}^{x}}\sin xdx}{{{(1+\cos x)}^{2}}}} $

Đặt $K=\int{\frac{{{e}^{x}}}{1+\cos x}dx,L=\int{\frac{{{e}^{x}}\sin x}{{{(1+\cos x)}^{2}}}dx}} $

Xét $ L=\int{\frac{{{e}^{x}}\sin x}{{{(1+\cos x)}^{2}}}dx} $

Đặt $\left\{ \begin{align}
& u={{e}^{x}} \\
& dv=\frac{\sin x}{{{(1+\cos x)}^{2}}}dx \\
\end{align} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& du={{e}^{x}}dx \\
& v=\int{\frac{-d(1+\cos x)}{{{(1+\cos x)}^{2}}}=\frac{1}{1+\cos x}} \\
\end{align} \right. $

$\Rightarrow L=\frac{{{e}^{x}}}{1+\cos x}-\int{\frac{{{e}^{x}}}{1+\cos x}dx=}\frac{{{e}^{x}}}{1+\cos x}-K $

Vậy $I={{e}^{x}}\frac{1+\sin x}{1+\cos x}-K-\left( \frac{{{e}^{x}}}{1+\cos x}-K \right)+C={{e}^{x}}\frac{1+\sin x}{1+\cos x}-\frac{{{e}^{x}}}{1+\cos x}+C $

;) .Bài mình xuất phát từ đẳng thức cũ thôi .
$( e^x.f(x))'= e^x( f(x)+f'(x)) $
Và ta có :$ \frac{1+\sin x}{1+\cos x}= \frac{1+\sin x}{2\cos( \frac{x}{2})^2}= 2\tan( \frac{x}{2})+\frac{1}{\tan^2( \frac{x}{2})}=2\tan \left( \frac{x}{2} \right) + \left( 2\tan\left( \frac{x}{2} \right) \right)' $

Vậy nên ta suy ra :$F(x)= 2.\tan\left( \frac{x}{2} \right).e^x+C $

$\left( \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \right). e^x = \left( \frac{1+\sin x}{ 2\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)} \right).e^x
= \frac{e^x }{2\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)} + \frac{e^x.\sin\left( \frac{x}{2} \right).\cos\left( \frac{x}{2} \right)}{\cos^2\left( \frac{x}{2} \right)} = \frac{e^x }{2\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)} + e^x .\tan \left( \frac{x}{2} \right) $
Tính tích phân này là ra

Cho mình hỏi 2 câu:

Bài 4. Tính tích phân $\int\limits_0^4 {{e^{\sqrt {2x + 1} }}dx} $.
Bài 5. Tính tích phân $\int\limits_0^{\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^4} - {x^2} + 1}}dx} $.

Bài 5

Bài 4

Anh ơi, Bài 4 có cận là 0 thì thế cận thế nào ạ. Em làm mãi không được nhưng bấm máy tính ra nghiệm đẹp. Hình như là $\[\frac{{3\pi }}{4}\]
$

Bài 3 Ngoài cách của chúThanh, chúng ta còn có thể làm như sau:
Đặt $ t=\sqrt {2x + 1} $ ta cóa $t^2=(2x+1)dx $ nên $dx=tdt. $
Vật ta có: $I=\int\limits_1^3 {{e^tt}}dt} $.
$I=te^t|^3_1-e^t|^3_1=... $.OK

Choem hỏi thêm 2 câu nữa.
Bài 6:Tính tích phân
$\[\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln (\tan x + 1)dx} \]
$
Bài 7: Tính tích phân
$\[\int\limits_0^1 {\frac{{x.\ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}dx} \]
$

Đặt $t=\frac{\pi }{4}-x\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}-t,dx=-dt $

Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=\frac{\pi }{4},x=\frac{\pi }{4}\Rightarrow t=0 $

$\Rightarrow I=-\int_{\frac{\pi }{4}}^{0}{\ln \left[ \tan \left( \frac{\pi }{4}-t \right)+1 \right]dt=}\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\ln \left( \frac{1-\tan t}{1+tant}+1 \right)dt} $

$=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\ln \left( \frac{2}{1+\tan t} \right)dt}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\ln \left( \frac{2}{1+\tan x} \right)dx}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left[ \ln 2-\ln (1+\tan x) \right]dx} $

$=x.\ln 2\left| _{0}^{\frac{\pi }{4}}-\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\ln (1+\tan x)dx=\frac{\pi }{4}\ln 2-I} \right. $

$\Rightarrow 2I=\frac{\pi }{4}\ln 2 $ hay $I=\frac{\pi }{8}\ln 2 $

Bài này thực ra là áp dụng mệnh đề: Cho hàm số $f(x) $ liên tục trên $[a,b] $.

Ta có: $\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{b}{f(a+b-x)dx} $

Cách trình bày của mình như trên nhằm tránh việc áp dụng trực tiếp bổ đề
..............................

$I=\int_{0}^{1}{\ln \left( x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)d\left( \sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)} $

$=\sqrt{1+{{x}^{2}}}\ln \left( x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)\left| _{0}^{1}-\int_{0}^{1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}d\left( \ln \left( x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right) \right)} \right. $

$=\sqrt{2}\ln (\sqrt{2}+1)-\int_{0}^{1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}\left( 1+\frac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}} \right)\frac{dx}{x+\sqrt{1+{{x}^{2}}}}} $

$=\sqrt{2}\ln (\sqrt{2}+1)-\int_{0}^{1}{dx}=\sqrt{2}\ln (\sqrt{2}+1)-1 $
------------------------------

Nếu bạn chưa biết có thể thử em này