Diễn Đàn MathScope - Bất đẳng thức với giả thiết $a^2+b^2+c^2\geq a+b+c.$

Trích:

Nguyên văn bởi hung.vx (Post 213023)

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả $a^2+b^2+c^2\ge a+b+c$. Chứng minh rằng
$$a^3+b^3+c^3+\frac{8}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 4.$$

Ta có:
$$ \frac{\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )^{3}}{\left ( a+b \right )(b+c)(c+a)} \geq \frac{27}{8}\left ( \frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c} \right )^6$$

Sử dụng AM-GM:
$$a^{3}+b^{3}+c^{3}+\frac{8}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}= \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}+\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3 }}{3}+\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}+\frac{8}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}$$
$$\geq 4\sqrt[4]{\frac{8\left ( a^{3} +b^{3}+c^{3}\right )^{3}}{27\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}}\geq 4\sqrt[4]{\frac{8}{27}.\frac{27\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{6}}{8\left ( a+b+c \right )^{6}}}\geq 4 $$