về đánh vài trận đế chế, rồi khi nào lên lớp thấy thầy cười là ok :hornytoro:

Bài này chắc là dễ nhất. See my solution here: [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]

Sau 1 hồi "quần thảo" cũng tìm 1 lời giải tương đối "thuần túy" cho bài 5.:hornytoro: Dưới đây là tóm tắt lời giải:
Dễ thấy điểm cố định cần tìm sẽ là trung điểm O của AB.
Gọi điểm đối xứng của M qua NQ là J,điểm đối xứng của M qua NP là K.
Bổ đề 1:N là trung điểm của KJ.K,A,S thẳng hàng.J,B,R thẳng hàng.
Chứng minh khá đơn giản bằng biến đổi góc.
Bổ đề 2:Nếu $\frac{\overline{BR}}{\overline{BJ}}= \frac{ \overline{AS}}{\overline{AK}} $(1) thì N,O,G thằng hàng.
Chứng minh bổ đề này dùng vectơ.
Như vậy nếu chứng minh được nhận xét (1) thì bài toán được chứng minh.
Ta có:
$\frac{\overline{BR}}{\overline{BJ}}=-\frac{S_{NRQ}}{S_{NJQ}} $
$\frac{\overline{AS}}{\overline{AK}}=-\frac{S_{NSP}}{S_{NKP}} $
Mà $\frac{S_{NRQ}}{S_{NSP}}=\frac{NQ^2}{NP^2} $(do hai tam giác đồng dạng)
$\frac{S_{NJQ}}{S_{NKP}}=\frac{MQ}{MP} $
Nên ta chỉ cần chứng minh:$\frac{NQ^2}{NP^2}=\frac{MQ}{MP} $
Mà $\frac{MQ}{NQ}.\frac{NP}{MP}=\frac{NQ}{PQ}.\frac{PQ }{NP}=\frac{NQ}{NP $ nên ta suy ra được (1).
Từ bổ đề 2 ta có đpcm.
Hình vẽ:http://img511.imageshack.us/img511/1876/bai5tst.jpg

Lời giải của tôi cho bài số 5. Gọn gàng!
Kẻ $SD||PQ||RC $ với $C,D $ nằm trên $NP,NQ $
Khi đó: các tam giác $NRC,NBS,MBN $ đồng dạng, các tam giác $NSD,NAR,MAN $ đồng dạng.
$\Rightarrow \frac{NA}{NR}=\frac{NS}{ND},\frac{NR}{NC}=\frac{NB }{NS}\Rightarrow \frac{NA}{NC}=\frac{NB}{ND}\Rightarrow AB||CD $
Và $\frac{RC}{NC}=\frac{NB}{NM},\frac{SD}{ND}=\frac{NA }{NM}\Rightarrow RC=DS\Rightarrow RCSD $ là hình bình hành, tức trung điểm $RS, CD $ trùng nhau! Xong!

Ok,I will post a condensed proof for the statement 2) that I posted.
I think the following is one of the most natural solutions to the problem.
Fist, let$(x_0,y_0) $ be the smallest positive solution to
$ax^2-by^2=1 $(1)
and let $(X_0,Y_0) $ be the smallest positive solution to
$X^2-abY^2=1 $(2)
Our pupose is to prove
$X_0=ax_0^2+by_0^2 $
$Y_0=2x_0y_0 $
Notice the following identities:
(3)$(ax_0^2-by_0^2)(ax^2-by^2)=(axx_0+byy_0)^2-ab(yx_0+xy_0)^2 $
(4)$(ax_0^2-by_0^2)(X^2-abY^2)=a(Xx_0-bYy_0)^2-b(Xy_0-aYx_0)^2 $
From (3) we have
$(ax_0^2+by_0^2;2x_0y_0) $ is a positive solution to (2) ;thus,
$ax_0^2+by_0^2>=X_0 $ and $2x_0y_0>=Y_0 $ (5)
Now we prove $X_0>=ax_0^2+by_0^2 $ and $Y_0>=2x_0y_0 $ (6)

From (4) we have
$(X_0x_0-bY_0y_0;/X_0y_0-aY_0x_0/) $ is a positive solution to (1)
Therefore $X_0x_0-bY_0y_0 >=x_0 $ (7)
We want to prove $aY_0x_0-X_0y_0>=y_0 $ (8)
If$ aY_0x_0-X_0y_0 >=0 $,(8) is done
If$ X_0y_0-aY_0x_0 >0 $ ,then we must have
$X_0y_0-aY_0x_0 >= y_0 $ (9)
From (7) and (9) (use AM-GM) we get
$X_0>=1+Y_0\sqr{ab}\ $ ,which is impossible .
So we have (7) and (8) ,which is enough to prove (6).

@a1vinhphuc: Bạn sử dụng điều kiện a>1 ở chỗ nào vậy?
==============
Bài dễ nhưng mọi người làm sai rất nhiều. Phần tìm k đa số quên k có thể âm. Đúng là lời giải cần đến Schur hoặc cái gì đó tương đương.

a=1 ,thì $(X_0x_0-bY_0y_0;/X_0y_0-aY_0x_0/) $ ko còn ý nghĩa
Khi cho b=1 ,ta sẽ thu được kết quả liên quan đến 2 PT
$x^2-ay^2=1 $
và $x^2-ay^2=-1 $

Tại sao không còn ý nghĩa? Nó vẫn là nghiệm dương của phương trình (1) cơ mà? Chứng minh có gì thay đổi đâu.

Bạn thử xem nếu a=1 thì $(X_0;Y_0) $ và $(x_0;y_0) $ có phải là 1 ko ,và $/X_0x_0-aY_0y_0/ $ có phải dương hay ko ( hay là =0).

Vậy thì bạn nên chứng minh rằng nếu a > 1 thì $/X_0x_0-aY_0y_0/>0 $. Như thế vừa chặt chẽ vừa nhấn mạnh điều kiện a > 1 dùng ở đâu. Lời giải có thể cắt ngắn, bỏ qua vài phép chứng minh nhưng những ý như vậy không nên bỏ qua.

Đoạn cuối này thiếu | | ở phần nghiệm đương . Mình cũng chưa hiểu bạn dụng đk a,b ko chính phương ở chỗ nào?
Nhưng có lẽ cm trên là đúng . Mình có cm khác ,chỉ dùng kết quả 1 :
[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]

Các chú Mod hoặc SMod post hộ MS cái đề chính xác cái đi.

Cậu giải thích luôn đi , tớ cũng chưa rõ lắm . Với lại cái đoạn (7) +(9) suy ra (8) bằng AMGM nữa . Sorry vì đã thắc mắc hơi nhiều !

Nói thật ,tớ ngại gõ Latex lắm nên lưới post ,nên tớ chỉ post mấy cái key steps trong lời giải thôi .Tớ nghĩ các bạn cũng tự check được ( mặc dù điều này có thể làm các bạn khó chịu,xin lỗi các bạn nhé).
Hơn nữa nếu có gì sai ,các bạn cứ nói .

Một lời giải HAY,ĐẸP