Chứng minh trực tâm nằm trên đường thẳng
 

Cho tứ giác $ABCD $ nội tiếp $(O) $ có $AB=AD $. $M,N $ nằm trên cạnh $BC,CD $ sao cho $MN=BM+DN $. $AM,AN $ cắt $(O) $ tại $P,Q $.
Chứng minh rằng trực tâm tam giác $APQ $ nằm trên $MN $

Anh thông cảm em ko biết cách vẽ hình. :-<
Trên tia đối của tia DN lấy E sao cho ED=BM
$\Rightarrow EN=MN $ $(1) $
Lại có $\widehat{ADE}=\widehat{ABM} $
Và $AD=AB $
$\Rightarrow \Delta ADE=\Delta ABM(c.g.c) $
$\Rightarrow AE=AM $
Mà $\Delta AEN $ và $\Delta AMN $ có $AN $ chung, kết hợp với $(1) $ suy ra chúng bằng nhau $(c.c.c) $.
$\Rightarrow \widehat{ANE}= \widehat{ANM}; \widehat{AMN}=\widehat{AEN}=\widehat{AMB} $ $(\Delta ADE=\Delta ABM) $
Bây giờ lấy đối xứng của C qua AQ và AP ta thấy ngay MN chính là đường thẳng Steiner của $\Delta APQ $ nên nó đi qua trực tâm $\Delta APQ $

Bài toán này có tương đối nhiều cách giải, rất mong các bạn đóng góp thêm các cách giải khác :D
-------------------------
Cách của mình:
[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]
Gọi $H $ là điểm trên $MN $ sao cho $MH=BM,NH=DN $
Cũng làm tương tự bạn MathForLife, ta chứng minh được $H $ đối xứng với $B $ qua $AP $, đối xứng với $D $ qua $AQ $
Gọi $J $ là giao điểm của $AH $ với $(O) $, thì $P,Q $ là trung điểm của cung $BC,DJ $
$\Rightarrow PJ=PB=PH,QJ=QD=QH \Rightarrow H $ đối xứng với $J $ qua $PQ $
$\Rightarrow AH \bot PQ $
Bằng một số phép biến đổi góc đơn giản, ta chứng minh được $B,H,Q $ thẳng hàng $\Rightarrow QH \bot AP $
Vậy $H $ là trực tâm tam giác $APQ $, suy ra đpcm
-------------------------
Để vẽ hình một cách chính xác thì nên bắt đầu từ tam giác $APQ $, sau đó dựng một đường thẳng bất kìa qua trực tâm $H $ của tam giác, cắt $AP,AQ $ tại $MN $, $B,D $ là các điểm đối xứng với $H $ qua $AP,AQ $, $C $ là giao điểm của $BM,DN $

Đây là hình của bài toán. Cách chứng minh của bạn rất hay, xin cảm ơn!
[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]

Thực ra chứng minh hoàn chỉnh đường thẳng Steiner cũng phải khá dài. Cách của anh Novae dễ hiểu hơn đối với các bạn học sinh THCS chưa học về đường thẳng Simson và mở rộng là đường thẳng Steiner. :))