[IMO 2013] Bài 1 - Số học
 

Chứng minh rằng với hai số nguyên dương $k,n$ bất kì, tồn tại các số nguyên dương $m_1,m_2,\ldots,m_k$ sao cho
$$ 1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right) \left(1+\frac{1}{m_2}\right) \dots \left(1+\frac{1}{m_k}\right). $$

Có thể chứng minh bài này bằng quy nạp theo k
Với k=1 thì chọn $m_1$ = n
Với k=2 thì đưa về phương trình nghiệm nguyên $3. m_1.m_2 = n(m_1+m_2 +1) $
$\Leftrightarrow (3.m_1- n)(3.m_2-n) = n(n+3)$
Nếu $n\vdots 3 $ thì chọn $m_1 = 2n/3, m_2=(2n+3)/3$
Nếu $n \equiv 1\pmod{3} $ thì chọn $m_1=(n+2)/3$
Nếu $n \equiv 2\pmod{3} $ thì chọn $m_1=(n+1)/3$
Quy nạp giả sử đúng đến k ta sẽ chứng minh đúng đến k+1
Thật vậy theo giả thiết qui nạp với mọi $m \in N$ thì tồn tại các sô $m_1,m_2,...m_k$ sao cho $\prod (1+\frac{1}{m_i}) = 1 + \frac{2^k-1}{m}$
Cần tìm $t \in N^*$ sao cho
$ \frac{t+1}{t} = \frac{2^{k+1}n-1}{n}.\frac{m}{2^{k}+m-1}$ với k,n cho trước.
Biến đổi ta được
$(2^k-1)n(t+1)=m(2^{k+1}t-t-n)$
Với n lẻ chọn t=n và $m=\frac{n+1}{2}$
Với n chẵn chọn $t=n+2(2^k-1), m=\frac{n}{2}$

Bước chứng minh quy nạp của bạn chưa đúng. Nếu muốn quy nạp theo $k $ ta cần phải chứng minh: Với mỗi giá trị của số nguyên dương $k $ thì với số nguyên dương $m $ bất kì luôn tồn tại bộ số $(m_{1},m_{2},...,m_{k}) $ thỏa mãn đẳng thức ở đề bài. Trong bước chứng minh quy nạp, bạn đã chọn $m $ theo $n $ , tức là mới chỉ chứng minh được một phần của bước này.

Mình nghĩ là không thiếu đâu bạn, giả thiết quy nạp của mình đến k là với mỗi m thì tồn tại bộ $(m_{1},m_{2},...,m_{k}) $ thỏa mãn đề bài, với k+1 thì với mỗi $n \in N $ ta tìm được số $m_{k+1} $ chính là t còn cái số $(m_{1},m_{2},...,m_{k}) $ xác định theo m

Tương đương với $ \frac{n+2^k-1}{n}=\left(\frac{1+m_1}{m_1}\right)\left(\frac{1+ m_2}{m_2}\right)\dots\left(\frac{1+m_k}{m_k}\right ). $
Ta sẽ tìm $ m_1, m_2,\ldots, m_k $ sao cho $\frac{1+m_1}{m_1}= \frac{x_1}{x_0} , \frac{1+m_2}{m_2}=\frac{x_2}{x_1},...,\frac{1+m_k} {m_k}=\frac{x_k}{x_{k-1}} $ trong đó $x_0=n$ và $x_k=n+2^k-1$
Ta sẽ xây dựng dãy ${x_i}$ như sau. $ x_0=n , x_{i+1}- x_i = 2^{j_i} $ với $j=0,1,...,k-1$ và mỗi j sẽ chỉ xuất hiện trong một hiệu. Khi đó $x_k=n+2^k-1$
Bây giờ để $m_i$ nguyên dương thì $x_i$ chia hết cho $x_{i+1}-x_i$ hay $x_i$ chia hết cho $2^{j_i}$
Bây giờ từ $x_1$ ta chọn $j_i =v_2(x_i) $ khi đó ta có $v_2(x_i)$ tăng, đến khi $v_2(x_i) \ge k-1$ thì đến đó ta cho $j_i$ còn lại nhận các giá trị còn lại trong $1,2,...,k-1$ theo thứ tự giảm dần như vậy vẫn đảm bảo $x_i$ chia hết cho $2^{j_i}$
Do đó ta luôn xây dựng được dãy $x_i$ hay luôn tìm được dãy $m_i$

Có ai hiểu mình viết cái gì không :(

Em nghĩ bài này còn một cách xây dựng khác:
Từ hệ thức đầu bài, ta được: $1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right) \left(1+\frac{1}{m_2}\right) \dots \left(1+\frac{1}{m_k}\right)$. Vì vế trái nguyên nên vế phải cũng nguyên, suy ra $n$ chia hết cho $m_i$, hay nói cách khác, $m_i$ là các ước của n và $m_{1}.m_{2}...m_{k}.i=n$. Nếu n nguyên tố thì dễ thấy $k=1$ và luôn tồn tại $m=n$ thỏa. Sau đó chứng minh quy nạp với n có 2 ước, 3 ước nguyên tố,...k ước nguyên tố. Cơ mà em vẫn chưa tìm ra cách để xây dựng cho phù hợp với bài giải, mọi người giúp em ạ.:rolleyes:

Ý tưởng chung là quy nạp và rất giống như IMO 2012
Các bạn hãy cm hai nhận xét sau đây, khi đó bài toán sẽ dễ dàng được giải
NX1: $(i,k-1)$ đúng thì $(2i,k)$ đúng với $i\geq 1$
NX2: $(i+1,k-1)$ đúng thì $(2i+1,k)$ đúng với $i\geq 1$
Cm hai nhận xét này khá đơn giản, từ đó bài toán được giải xong bằng quy nạp mạnh

Không suy ra được $m_i $ là các ước của $n $ đâu em. Viết ra là thấy à.