[IMO 2013] Bài 4 - Hình học phẳng Cho tam giác nhọn $ABC$ với trực tâm $H$. Cho $W$ là một điểm tùy ý trên cạnh $BC$, khác với các điểm $B$ và $C$. Các điểm $M$ và $N$ tương ứng là chân các đường cao hạ từ $B$ và $C$. Kí hiệu $\omega_1$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BWN$, và gọi $X$ là điểm trên $\omega_1$ sao cho $WX$ là đường kính của $\omega_1$. Tương tự, kí hiệu $\omega_2$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $CWM$, và gọi $Y$ là điểm trên $\omega_2$ sao cho $WY$ là đường kính của $\omega_2$. Chứng minh rằng các điểm $X,Y$ và $H$ thẳng hàng. |
1 Attachment(s) Mình làm thế này không biết có đúng không. Theo định lý Miquel ta có: 3 đường tròn $\omega_1 ; \omega_2; (AMN)$ cùng đi qua 1 điểm. Gọi điểm đó là $F$ Và ta cùng được là 3 điểm $X; F; Y$ thẳng hàng. $O_1;O_2$ lần lượt là tâm của 2 đường tròn $\omega_1 ; \omega_2$ khi đó $O_1O_2 \parallel XY$ (đường trung bình). Và $O_1O_2 \perp AW$ vì $AW$ là trục đẳng phương của $\omega_1 ; \omega_2$ Lại có: $HF \perp AW$ vì $AH$ là đường kính của $(AMN)$. $\Rightarrow HF \parallel O_1O_2$ Vậy $H,F, X, Y$ thẳng hàng. Không biết mình có sai ở đâu không. Tại vì có ai đã nói rằng Trích:
[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] |
Trích:
|
1 Attachment(s) Áp dụng định lý Miquel cho tam giác $ABC$, với 3 điểm $W, M, N$ ta có $\omega_1$ , $\omega_2$ , $(AMN)$ đồng quy tại $D$. Dễ thấy $(AMN)$ cũng chính là đường tròn đường kính $AH$. Ta có $AN.AB=AM.AC$ hay $A$ có cùng phương tích đối với $\omega_1$ , $\omega_2$. Do đó, nó phải thuộc trục đẳng phương $WD$ của hai đường tròn. Ta có $DX, DY$ vuông góc với $WD$, $DH$ vuông góc với$DA$. Do đó, $X,Y,H$ thằng hàng. |
Trích:
Cám ơn bạn, mình sẽ edit lại cho hoàn chỉnh hơn :-h |
Hùng Chở Lợn thì ai mà chả từng nghe tên :lolz:. Năm nay có 2 bài hình, dự là đoàn VN lại top 10 :angrybird: |
Trích:
1. Trước hết nhận xét $X, Y, Z $ thẳng hàng; $A, Z, W $ thẳng hàng và $XY $ vuông góc $AW. $ 2. Ta có $\widehat{NHM}=\widehat{NZM}(=180^0-\widehat{A}) $ nên $N, H, Z, M $ đồng viên, khi đó $HZ $ vuông góc $AW. $ Từ đó bài toán được chứng minh. |
Múi giờ GMT. Hiện tại là 02:19 AM. |
Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.