hàm phần nguyên khó
 

chứng minh rằng với mọi só nguyên dương $n $ hiệu

$\sum\limits_{k = 1}^n {\left[ {\frac{n}{k}} \right]} - \left[ {\sqrt n } \right] $ luôn là một số chẵn...

cách 1: trâu bò là ra
cách 2: sử dụng đếm bằng 2 cách

Xét bài toán này:

Tìm số điểm có tọa độ nguyên dương (x, y) thỏa mãn bất phương trình $x.y \le n $.

bài đầu giải đơn giản thôi, ta sử dụng nhận xet $\left[ {\frac{n}{k}} \right] = s;s \in Z,ks \le n $

nên $\sum\nolimits_{k = 1}^n {\left[ {\frac{n}{k}} \right]} $ là số các cặp có tính thứ tự(s,k) thỏa mãn $1\le s,k \le n ;ks \le n $

$\left[ {\sqrt n } \right] $ là số các cặp (k,k) thỏa mãn $1\le k\le n ; k^2 \le n $ nên hiệu $\sum\limits_{k = 1}^n {\left[ {\frac{n}{k}} \right]} - \left[ {\sqrt n } \right] $ là số các cặp có tính thứ tự(s,k) .nếu (s,k ) thổa mãn thì (k,s) cũng thỏa mãn ...suy ra hiệu là số chẵn...
(nếu sai ở đâu mong các anh chỉ cho ạ)

Chuẩn xác rồi.

Ngoài ra có một chú ý là $\sum\limits_{i=1}^n[\frac{n}{i}] = \sum\limits_{i=1}^{n}d(i) $