Đề thi năng khiếu lớp 10 Toán lần thứ 4
 

Bài 1( 2 điêm) giải các phương trình:
a) $8 - x^{2}=4(\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x}) $
b) $2\sqrt{x+2}=x^{3}-4 $
Bài 2 ( 2 điểm)
Cho tứ giác $ABCD $ nội tiếp một đường tròn bán kính $R $. Chứng minh:
$16R^{2}\geq (AB+CD)^{2}+(BC+DA)^{2}\geq (AC+BD)^{2} $
Bài 3 (2 điểm)
Giả sử a, b, c, d là các số thực dương thay đổi. TÌm giá trin nhỏ nhất của:
$S=(\frac{a}{b+c+d})^{\frac{3}{4}}+(\frac{b}{a+c+d} )^{\frac{3}{4}}+(\frac{c}{b+a+d})^{\frac{3}{4}}+( \frac{d}{ b+c+a } )^{\frac{3}{4}} $
Bài 4 (2 điểm)
a) Cho $a, b, c $ là các số nguyên lẻ. Chứng minh rằng phương trình $ax^{2}+bx+c $ không thể có nghiệm hữu tỉ.
b) Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên $a $ và $b $ sao cho:
$5a^{2}+6ab+7b^{2}=1993 $
Bài 5 ( 2 điểm)
Đường kính của 1 tập hợp trong mặt phẳng bằng khoảng cách lớn nhất giữa hai điẻm bất kì của nó. Như vậy, đường kính của 1 hình vuông đơn vị là $\sqrt{2} $.
a) Chứng minh rằng 1 hình vuông đơn vị có thể được phủ kín bởi ba tập hợp có đường kính không vượt quá $\frac{\sqrt{65}}{8} $
b)Chứng minh rằng 1 hình vuông đơn vị không thể được phủ kín bởi ba tập hợp có đường kính nhỏ hơn $\frac{\sqrt{65}}{8} $

Bài 4: câu a) giả sử pt $ax^2+bx+c=0 $ có nghiệm hữu tỉ
Vậy $\Delta=k^2 $ $(k\epsilon Z) $
mà $a,b,c $ lẻ nên $\Delta $ lẻ nên $k^2 $ lẻ
=>$\Delta\equiv 1 (mod 8) $
Đặt $a=2t+1 $, $b=2u+1 $, $c=2v+1 $ $(t,v,u\epsilon Z) $
=>$\Delta=b^2-4ac=(2t+1)^2-4(2t+1)(2v+1)=4t(t+1)-8(u+v+2tv)+1-4\equiv -3\equiv 5(mod 8) $
mà $\Delta\equiv 1(mod 8) $ (cmt)
=> Mâu thuẫn (VL)
=> phương trình không co nghiệm hữu tỉ
------------------------------
Câu 1: b) $2\sqrt{x+2}=x^3-4 $ (*)
Với $x\geq -2 $, ta có
(*)<=>$2(\sqrt{x+2}-2)=(x-2)(x^2+2x+4) $
<=>$\frac{2(x-2)}{\sqrt{x+2}+2}=(x-2)(x^2+2x+4) $
<=>$x=2 $ (nhận)
hay
$\frac{2}{\sqrt{x+2}+2}=(x^2+2x+4) $
theo điều kiện $x\geq -2 $ thì:
$VT\leq 1 $
$VP\geq 4 $
Vậy $VT\neq VP $
Vậy $x=2 $

Câu 1a
Đặt $\sqrt{1-x}=a,\sqrt{1+x}=b $ ta có $a^2+b^2=2 $
Phương trình đã cho trở thành $a^2b^2+7=4(a+b) <=> (ab-1)^2+(a+b-2)^2=0 $

------------------------------
Đây là đề của nguyễn trãi. Hơi thất vọng với hai phần số

Bài 1: a) Với $-1\geq x\leq 1 $,
Đặt a=\sqrt{1-x}, b=\sqrt{1+b} $(a,b\geq 0) $, ta có hệ:
$\left\{\begin{matrix}
7+a^2b^2=4(a+b) &(1) \\
a^2+b^2=2 & (2)
\end{matrix}\right. $
Bình phương (1):
=>$\left\{\begin{matrix}
49+a^4b^4+14a^2b^2=16(a^2+b^2+2ab) & \\
a^2+b^2=2 &
\end{matrix}\right. $
=>$a^4b^4+14a^2b^2-32ab+17=0 $ (do $a^2+b^2=2 $)
<=>$(ab-1)^2(a^2b^2+2ab+17)=0 $
=>$ab=1 $ (nhận) (do $a^2b^2+2ab+17 >0 $)
=>$\sqrt{1-x^2}=1 $
=>$x=0 $ (nhận)
P/s: Lời giải của mình không đc hay lắm :(:(

Post lun câu 4b)
$5a^2+6ab+7b^2-1993=0 $
Giả sử pt trên có nghiệm a,b nguyên, ta coi a là ẩn nguyên:
=>$\Delta=k^2 $ (với $k\epsilon Z $)
=>$9965-26b^2=k^2 $
*Xét $b $ chẵn
=>$9965-26b^2\equiv 9965\equiv 5 (mod 8) $
mà $k^2 $ lẻ (do $9965-26b^2 $ lẻ)
=>$k^2\equiv 1 (mod 8) $
=> Mâu thuẫn (VL)
*Xét $b $ lẻ
=>$9965-26b^2\equiv 9965-26\equiv 3 (mod 8) $
mà $k^2 $ lẻ
=>$k^2\equiv 1 (mod 8) $
=> Mâu thuẫn (VL)
Vậy pt trên không có nghiệm nguyên
P/s: Đề gì mà gê thế. Nãy giờ mới kiếm đc 4 điểm @_@@_@@_@

Bài cuối khó thật. Ai có cao kiến gì không ???:(:(:(

Ngon zai rồi :Secretsmile::Secretsmile::Secretsmile:

Bài 2 hơi dài
Bài 3 có hai cách.
C1 Cau chy - Schwarz
$S=\sum(\frac{a}{b+c+d})^{\frac{3}{4}}=\sum {\frac{a^2}{a\sqrt[4]{a(b+c+d)^3}} } \geq \frac{(a+b+c+d)^2}{\sum{a\sqrt[4]{a(b+c+d)^3}}} $
Ta đưa bdt về $(a+b+c+d)^2 \geq \frac{4}{\sqrt[4]{27}} \sum{a\sqrt[4]{a(b+c+d)^3} $
Thật vậy $\frac{4}{\sqrt[4]{27}}a\sqrt[4]{a(b+c+d)^3}\leq a(a+b+c+d) $
:Secretsmile::Secretsmile::Secretsmile:

Bài 5:
Xét hình vuông ABCD tâm O. Lấy E, F trên AB, DC sao cho AE=DF=1/8. Lấy G là trung điểm BC.
a) Hình vuông chia làm ba phần: AEOFD, EBGO và OGCF
b) Dirichlet.

:(:(:(. Cái phần $(AB+CD)^2+(BC+AD)^2\geq (AC+BD)^2 $ dùng bđt tam giác phải không???b-)b-)

$(AB+CD)^{2}+(BC+DA)^{2}\geq (AC+BD)^{2} $
Cái này xài ptoleme và công thức đường trung tuyến
Cái trước dùng định lí sin trong đường tròn

bạn giải rõ cho mình với, chứ chưa hiểu phần b) như thế nào

Bài 5 b)
Xét đỉnh A, lấy 2 điểm khác trên cạnh hình vuông cách A khoảng 1/8, tương tự lấy cho các đỉnh khác. Bây giờ có 12 điểm.
N/x: không có hình tròn nào đường kính nhỏ hơn $\sqrt{65}/8 $ chứa 5 điểm trong 12 điểm trên.
Suy ra, nếu có thể phủ được thì mỗi hình tròn chứa đúng 4 điểm. Lúc này, chỉ có 1 khả năng xảy ra là: bộ 4 điểm trên 1 cạnh thuộc 1 hình tròn và 2 bộ 4 điểm khác, mỗi bộ tập trung tại góc hình vuông (vẽ hình sẽ thấy).
Chọn điểm K là trung điểm của cạnh hình vuông đối diện với cạnh chứa 4 điểm cùng thuộc một đường tròn. Dễ thấy trong mỗi bộ 4 điểm (chia ở trên) thì có ít nhất 1 điểm mà khoảng cách đến K không nhỏ hơn $\sqrt{65}/8 $. Mâu thuẫn.

Bài hình còn có cahcs khác : khai triển $( \vec{OA} +\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OD})^2 \geq 0 $