Diễn Đàn MathScope

Diễn Đàn MathScope (http://forum.mathscope.org/index.php)
-   Tôpô/Topology (http://forum.mathscope.org/forumdisplay.php?f=129)
-   -   Không gian metric. (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=45639)

InuYasha 14-11-2013 09:49 AM

Không gian metric.
 
1, Cho $X $ là không gian metric đầy đủ, $(G_n) $ là dãy các tập con mở, trù mật khắp nơi trong X. CMR $\bigcup _{n=1}^{\infty}G_n $ trù mật khắp nơi.


2, $X $ là không gian metric tích của hai không gian metric $X_1, X_2 $và $A \subset X_1, B \subset X_2 $. CMR $\overline{A_1 \times A_2} = \overline{A_1} \times \overline{A_2} $. Nếu $A_1 \times A_2 $ là tập đóng thì có suy ra được $A_1, A_2 $ là các tập đóng hay không?

99 14-11-2013 12:39 PM

Câu 1 thì bạn thay hợp thành giao thôi, và dùng định lý Baire.

Câu 2 thì để c/m $A$ đóng, thì bạn dùng khái niệm đóng theo dãy. Nếu $A$ không đóng thì tồn tại điểm $x\not\in A$ là điểm giới hạn của một dãy trong $A.$ Từ đây tìm được mâu thuẫn.

InuYasha 14-11-2013 10:05 PM

Là sao anh?
Câu 1 là giao vô hạn thì mới đúng đề hay sao?
Còn câu 2, thấy nếu tập tích đóng thì cũng suy ra được các tập kia đóng mà. Giả sử mệnh đề kia chứng minh được thì $A_1 \times A_2 = \overline{A_1 \times A_2} = \overline{A_1} \times \overline{A_2} $, thế thì các tập $A_1,A_2 $ là đóng rồi.

99 14-11-2013 10:49 PM

Ừm, mình không để ý câu 2 có hai ý, mà lại chỉ để ý mỗi câu hỏi cuối cùng. Ý c/m vẫn vậy thôi. Cái khó của bài tập không phải ở độ phức tạp, mà là ở việc chọn khái niệm hội tụ nào cho phù hợp. Tập đóng có vài cách định nghĩa. Rất may đây là không gian metric nên có thể quy mọi việc về ngôn ngữ dãy. Chứ nếu là không gian topo tổng quát thì khá phiền.


Múi giờ GMT. Hiện tại là 02:37 PM.

Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2020, Jelsoft Enterprises Ltd.

[page compression: 5.69 k/6.02 k (5.48%)]