Diễn Đàn MathScope

Diễn Đàn MathScope (http://forum.mathscope.org/index.php)
-   Tôpô/Topology (http://forum.mathscope.org/forumdisplay.php?f=129)
-   -   Chứng minh rằng $A\cap B$ cũng trù mật trong E. (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=48166)

Mrnhan 03-09-2014 05:59 AM

Chứng minh rằng $A\cap B$ cũng trù mật trong E.
 
Cho (E,d) là không gian metric, A là tập mở trong E, B thuộc E thỏa mãn A và B đều trù mật trong E. Chứng minh rằng $A\cap B$ cũng trù mật trong E.

123456 06-10-2014 10:44 AM

Trích:

Nguyên văn bởi Mrnhan (Post 205019)
Cho (E,d) là không gian metric, A là tập mở trong E, B thuộc E thỏa mãn A và B đều trù mật trong E. Chứng minh rằng $A\cap B$ cũng trù mật trong E.

Ta chứng minh với mọi $x\in E$ và $r>0$ có tồn tại $y\in A\cap B$ sao cho $d(y,x) < r$. Thật vậy, do $A$ trù mật trong $E$ nên có tồn tại $y_1\in A$ sao cho $d(y_1,x) < r/2$. Do $A$ mở nên có tồn tại $\epsilon < r/2$ sao cho hình cầu mở $B(y_1,\epsilon) \subset A$. Do $B$ trù mật trong $E$ nên có tồn tại $y\in B$ sao cho $d(y,y_1) < \epsilon < r/2$. Do đó $y \in A$. Tóm lại, ta được $y\in A\cap B$ và
$$d(y,x) < d(y,y_1) + d(y_1,x) < r.$$


Múi giờ GMT. Hiện tại là 12:46 PM.

Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2020, Jelsoft Enterprises Ltd.

[page compression: 4.00 k/4.29 k (6.74%)]