[VMO 2014] Bài 3 - Tổ hợp
 

Bài 3.
Cho đa giác đều có 103 cạnh. Tô màu đỏ 79 đỉnh của đa giác và tô màu xanh các đỉnh còn lại. Gọi $A$ là số cặp đỉnh đỏ kề nhau và $B$ là số cặp đỉnh xanh kề nhau.
a. Tìm tất cả các giá trị có thể nhận được của cặp $(A,B).$
b. Xác định số cách tô màu các đỉnh của đa giác để $B=14.$ Biết rằng hai cách tô màu được xem là như nhau nếu chúng có thể nhận được nhau qua một phép quay quanh tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác.

Câu a ra đáp án giống anh Lữ mà lập luận khá mơ hồ ( sơ sơ thế này , ban đầu là (78,23 ) sau đó cho 1 xanh vào thì A, B cùng giảm 1, cho 2 xanh vào thì 1 là cả 2 cùng giảm 2 hoặc cả 2 cùng giảm 1 , cứ thể ta được KQ như trên.

Post này là của huynhcongbang

--------------

A. Ta định nghĩa một nhóm các đỉnh xanh là một dãy các đỉnh xanh liên tiếp trên đường tròn và bị chặn hai đầu bởi màu đỏ. Tương tự với nhóm các đỉnh đỏ.
Rõ ràng số nhóm đỉnh xanh phải bằng số nhóm đỉnh đỏ.
Đặt các nhóm lượng đỉnh trong các đỏ là $r_1,r_2,...,r_k $ và số lượng đỉnh trong các nhóm xanh là $b_1,b_2,...,b_k $.

Hơn nữa, trong một nhóm có kích thước là $t$ thì số cặp đỉnh cùng màu là $t-1$.
Khi đó, ta có $A = \sum_{i=1}^k (r_i-1)$ và $B = \sum_{i=1}^k (b_i-1)$.
Ngoài ra, ta cũng có: $\sum_{i=1}^k r_i = 79, \sum_{i=1}^k b_i = 24$.
Từ đó suy ra $A = 79-k$ và $B=24-k$.
Ta cần có $1 \le k \le 24$ và dễ dàng suy ra có 24 cặp cặp $(A,B)$ có dạng $(A,B)=(79-k,24-k)$ với $k=1,2,3,...,24$.

B. Theo câu a thì với $B=14$, ta tìm được số nhóm $k=24-14=10$.
Khi đó, ta có $b_1+b_2+...+b_{10}=24$ và $r_1+r_2+...+r_{10}=79$.

Ta thấy ứng với mỗi bộ $(b_1,b_2,...,b_{10})$ và một bộ $(r_1,r_2,...,r_{10})$ là các bộ nghiệm nguyên dương của hai phương trình trên thì có đúng 1 cách tô thỏa mãn đề bài.

Do đó, theo bài toán chia kẹo Euler, số cách tô cần tìm là $C_{23}^{9}. C_{78}^{9}$.

Câu a ta có thể giải ra bằng 1 nhận xét sau:
Với mọi cách tô màu ta đều có $A-B=55$ và không đổi
Từ đây suy ra các giá trị $(A,B)$ là $(55,0);,,,;(78,23)$

Đếm kẹo Euler thì chỉ ra $C_{23}^9.C_{78}^9$ thôi chứ anh :!. Với cả em nghĩ phải chia $10$ lần lặp vì bộ $(b_1,b_2,...,b_{10})$ và bộ $(r_1,r_2,...,r_{10})$ khi xếp lên đường tròn sẽ trùng với bộ $(b_i,...,b_{10},b_1,...,b_{i-1})$ và $(r_i,...,r_{10},r_1,...,r_{i-1})$ với mọi $i$ từ 1 đến 10. Đáp số cuối cùng của em là $\frac{C_{23}^9.C_{78}^9}{10}$:-h

Câu b lúc đầu mình cũng ra đáp số giống bạn ĐM cơ mà thử cho mấy th nhỏ thì cái số kia chưa chắc đã nguyên.

Chán quá mình cũng chia kẹo euler nhưng lại ra $\frac{1}{10}.C_{23}^9$ vì cứ tưởng ứng với một cách tô xanh thì điểm đỏ xác định duy nhất, phí quá:(

Oh, anh nhớ nhầm tí. Anh đã sửa lại rồi. :))

Còn chuyện trùng nhau này thì để nghĩ thêm tí coi, chắc phải vẽ ra vài bộ mới dễ thấy được. :)

Em ra khác rồi các bác @@. C14/24*C9/78

Câu a thì giá trị như thế nào cũng không ảnh hưởng nên gọi số điểm đỏ là a và số điểm xanh là 103-a. chỉ cần xét các mô hình điểm, nếu đổi chỗ 2 điểm xanh và đỏ bất kì thì A và B sẽ cùng tăng 1 nếu nó có cấu hình $(...AABABA...) \rightarrow (...AAABBA...)$ , không thay đổi nếu nó có cấu hình $(...ABBABB...) \rightarrow(...ABABBB...)$ hoặc (...BAABAA...)->(...BABAAA...) và giảm 1 nếu có cấu hình $(...AABB...) \rightarrow (...ABAB...)$... nên từ đó ta chỉ có thể nhận được các bộ $(A,B)=(a-k,103-a-k)$

Mình k nghĩ chia 10 là đúng đâu. Lí do là trong nghiệm ta xét thì các bộ $(m_i,n_i)$ chưa chắc đã phân biệt nên chưa chắc mỗi cái đã lặp đúng 10 lần.
Thử với t/h nhỏ hơn sẽ thấy sai đó là
$n_1+n_2+n_3+n_4=4$
$m_1+m_2+m_3+m_4=6$
Nếu dùng đúng ct thì sẽ là $\frac{C^3_3 C^3_5}{4}$ k phải là số nguyên

Có lễ là chia 10 theo mình nghĩ là vẫn đúng vì trong 10 lần lặp không có 2 lần nào trùng nhau vì $(79,10)=1$, giải thích cũng không khó nhưng đúng là nếu không có thì sẽ không chặt chẽ! lại mất 1 ít điểm rồi :sad:

Ừ có vẻ hợp lí rồi
Thôi xong, ghi hết vào bài rồi xong gạch hết từ sau đoạn chia kẹo Euler :(
Hôm nay nó cứ thế nào thế k biết :(

Nếu có 1 cách tô nào đó khi quay quanh tâm lại thu được chính nó, khi đó r1, r2, ..., r10 nhóm thành 5 cặp mỗi cặp gồm 2 số bằng nhau. Mâu thuẫn vì tổng là 79 lẻ.