Một bài BĐT có điều kiện
 

Không biết thầy giáo sưu tầm đề ở đâu mà khó quá :-??
Cho a,b,c > 0 và a $\neq $ c thỏa
$a+\sqrt{b+\sqrt{c}} = c + \sqrt{b+\sqrt{a}} $
Cm $ac< \frac{1}{40} $

Đây là bài trong TTT tháng 11 vừa rồi. đã hết hạn gửi bài nên em xin chém:

từ gt suy ra:
$(\sqrt{a} - \sqrt{c})(\sqrt{a}+\sqrt{c})= \frac{\sqrt{a} - \sqrt{c}}{\sqrt{b+\sqrt{a}}+\sqrt{b+\sqrt{c}}. $
Suy ra
$(\sqrt{a}+\sqrt{c})(\sqrt{b+\sqrt{a}}+\sqrt{b+\sqr t{c})=1 $
$=>\sqrt{ab+a\sqrt{a}}+\sqrt{ab+a\sqrt{c}}+\sqrt{cb +c\sqrt{a}}+\sqrt{cb+c\sqrt{c}}=1 $
suy ra 1$ \geq \sqrt{a\sqrt{a}}+\sqrt{a\sqrt{c}}+\sqrt{c\sqrt{a}} +\sqrt{c\sqrt{c}}. $
đến đây áp dung AM-Gm là xong.

Điều kiện tương đương với
$a-c=\sqrt{b+\sqrt{a}}-\sqrt{b+\sqrt{c}}. $
Hay
$a - c = \frac{{\sqrt a - \sqrt c }}{{\sqrt {b + \sqrt a } + \sqrt {b + \sqrt c } }}. $
Do $a\neq c $ nên suy ra
$\left( {\sqrt a + \sqrt c } \right)\left( {\sqrt {b + \sqrt a } + \sqrt {b + \sqrt c } } \right) = 1. $
Từ đây, áp dụng AM-GM
$1 > \left( {\sqrt a + \sqrt c } \right)\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{c}} \right) \ge 4{(ac)^{\dfrac{3}{8}}}. $
Suy ra
$ac < \frac{1}{{{4^{\frac{8}{3}}}}} < \dfrac{1}{{40}}. $
Ta có điều phải chứng minh. $\hfill \Box $