Một bài toán với nhiều cách giải
 

Trong thời gian ôn tập thi vào lớp 10 , thầy của mình đã đưa ra bài toán như sau:
Bài toán này mình đã hỏi trên MS và nhận được lời giải từ bạn lilsalyn . Sau một thời gian quan sát, mình nhận ra đây là một bài toán quen thuộc với nhiều cách giải. Tốn chút thời gian gói ghém lại thành file PDF, mình xin chia sẻ với các bạn 4 lời giải. Các lời giải phù hợp cho các bạn từ lớp 8 đến lớp 10. Nếu các bạn có thêm những cách giải khác muốn đóng góp, xin các bạn trình bày bên dưới. Đây là dịp tốt để mình và những bạn khác được học hỏi thêm. :feelgood:

Bài toán: Cho tam giác $ABC $ có $BE, CF $ là hai đường cao. Gọi $ I $ là trung điểm $BC $. Đường thẳng qua$ A $ vuông góc$ AI $cắt $CF $ tại $M, BE $ tại $N $.
Chứng minh: $AM=AN $.
Ta có thể giải như sau
Kẻ đường cao$ AD $ của tam giác $ABC. H $ là trực tâm tam giác.
$S $ là giao của $EF $ và $BC. I $ là trung điểm $BC $.
Theo tính chất quen thuộc thì $SH $ vuông góc với $AI $. Do đó $SH $ song song với $MN. $
Ta có $H(SDBC)=-1 $ nên $ H(SAMN)=-1 $. Chú ý rẳng $SH $ song song với $ MN $ ta có $AM = AN $(đpcm).

Lời giải 4 hàng
[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]

Anh có chứng minh giùm em tại sao mà $SH $ vuông góc với $AI $ không?

Cái này chứng minh bằng phương tích và trục đẳng phương:
Dễ chứng minh được $EFDI $ là tứ giác nội tiếp nên $SF.SE=SD.SI $. Suy ra $S $ thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn đường kính $AH $ và $HI $, mà hai đường tròn này cắt nhau tại $H $ nên $SH $ chính là trục đẳng phương của hai đường tròn này. Mặt khác đường nối tâm của hai đường tròn này song song với $AI $ nên ta có đpcm.