Chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định
 

Cho tam giác ABC, trung tuyến AD. Đường thẳng (a) vuông góc với AD. M chạy trên (a). E,F theo thứ tự là trong điểm của MB,MC. Các điểm P,Q theo thứ tự thuộc AB,AC sao cho EP,FQ cùng vuông góc với (a). Cm rằng đường thẳng đi qua M vuông góc với PQ luôn đi qua điểm cố định.


p/s : mình đã có lời giải rồi nhưng ko biết cái hướng suy luận thế nào ! Mình đã định hướng bài này dùng định lý Carnot mà suy nghĩ ko được ! Bạn nào giải thì nói luôn nhé =p~

Đề này hình như có vấn đề. Điểm F cho làm gì??? Với cả (a) vuông góc với AD tại đâu dzậy?

vuông góc với AD tại 1 điểm bất kì bạn ah.
Còn điểm F thì mình nhầm. Đã edit lại. đó là FQ

Bài này là bài VMO 2008 :)
Theo mình thì khi giải các bài đi qua điểm cố định nên xét các vị trí đặc biệt, ở bài này chúng ta thấy có 3 vị trí đặc biệt của $M $ là giao điểm của $AD $ với $(a) $ và chân đường vuông góc từ $B $, $C $ xuống $(a) $.
Để ý khi $M $ là chân đường vuông góc từ $B $ xuống $(a) $ thì $PQ\equiv AB $, khi $M $ là chân đường vuông góc từ $C $ xuống $(a) $ thì $PQ\equiv AC $
Từ đó gọi $H, K $ lần lượt là chân đường vuông góc từ $B, C $ xuống $(a) $, $S $ là giao của đường thẳng qua $H $ vuông góc với $AB $ và đường thẳng qua $K $ vuông góc với $AC $
Bây giờ ta chứng minh $S $ là điểm cố định hay chứng minh $SM $ vuông góc với $PQ $ ($M $ bất kì thuộc $(a) $)
Thật vậy dễ chứng minh $PH=PM,QK=QM,AH=AK $
Ta có $SP^2-PM^2=SP^2-PH^2=SA^2-AH^2=SA^2-AK^2=SQ^2-QK^2=SQ^2-QM^2 $
Vậy $SM $ vuông góc với $PQ $ hay $MN $ luôn đi qua $S $ cố định. =p~

Lập luận của bạn tuanh208 rất hay, đơn giản và rất dễ hiểu