giới hạn chứng minh dãy $\{u_n\} $ không có giới hạn với $u_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{n} $ |
Xét dãy $x_n = u_n - \ln n $ Xét $x_{n + 1} - x_{n} = \frac{1}{n + 1} - \ln(1 + \frac{1}{n}) $ Dễ dàng chứng minh: $\frac{1}{n + 1} < \ln (1 + \frac{1}{n}) < \frac{1}{n} $ Suy ra: $\frac{1}{n + 1} - \ln (1 + \frac{1}{n}) < 0 $ Nên: $x_{n + 1} - x_n < 0 $ $u_n - \ln n < u_{n + 1} - \ln (n + 1) $ Hay: $u_n < u_{n + 1} - \ln (1 + \frac{1}{n}) < u_{n + 1} $ Suy ra dãy ${u_n} $ phân kỳ. |
Trích:
|
Em làm thế này có được ko ạ Có lẽ cách CM cũng gần giống: Xét hàm số $f(x)=\ln x $ Theo định lí Lagrange ta có xét mỗi khoảng $(n;n+1) $ sẽ tồn tại $k\in (n;n+1) $ sao cho $f'(k)=\frac{f(n+1)-f(n)}{n+1-n} $ Tức là sẽ có số $k\in (n;n+1) $ sao cho $\frac{1}{k}=\ln (n+1) -\ln n $ Tức là $\ln (n+1) -\ln n<\frac{1}{n} $ Như vậy ta có $\ln (n+1) -\ln n<\frac{1}{n} $ $\ln (n) -\ln (n-1)<\frac{1}{n-1} $ ..... $\ln 2-ln1<1 $ Cộng các vế với nhau ta có $\ln (n+1) -\ln 1< \sum \frac{1}{n} $ Tức là $\lim_{1\to \inft} \sum \frac{1}{n}> \lim_{1\to \inft} \ln n $ Mà $\lim_{1\to \inft} \ln n=+\inft $ do đó chuỗi đã cho phân kì |
hình như có cách ko cần sử dụng hàm mũ |
Trích:
Nhận xét: $u_{2n}-u_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+....+\frac{1}{2n}> \frac{n}{2n}=\frac{1}{2} $ Theo tiêu chuẩn Cauchy thì dãy trên ko tồn tại giới hạn.:hornytoro::hornytoro: |
Hình như dãy $u_n -\log n $ hội tụ thì phải :hornytoro:, chú kiểm tra thử xem :)) |
Trích:
|
Trích:
|
Múi giờ GMT. Hiện tại là 04:23 AM. |
Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.