Điểm cố định
 

Cho (O), dây cung BC cố định. A chuyển động trên đường tròn. Một điểm Q cố định trên mp. Gọi $A_1B_1C_1 $ là tam giác Pedal của Q ứng với tam giác ABC. Gọi X, Y là hai giao điểm của $(A_1B_1C_1) $ với đường tròn Euler của t/g ABC. P là điểm liên hợp đẳng giác của Q trong t/g ABC. M là 1 điểm trên đường vuông góc kẻ từ P tới BC sao cho $\vec{PM}=\vec{u} $ cho trước. CMR trong hai đường thẳng qua X, Y và vuông góc với XM, YM, có một đường thẳng cắt BC tại điểm cố định.

Bài này chế hơi loằng ngoằng nhưng rất thú vị :)

Em tìm được bài toán tương đương với bài toán này mà cấu hình bớt phức tạp hơn.Tuy vậy thì không biết nó có dễ hơn chút nào không.
Bài toán tương đương:Cho $(O) $ và dây cung $BC $ cố định. $A $ đi động trên $(O).A_1 $ là hình chiếu vuông góc của $Q $ (cố định) trên $BC.F $ là điểm Fontene của $Q.K $ là giao của $QA_1 $ với vòng tròn Pedal của $Q $.Chứng minh $\widehat{XKA_1} = constant $

Trước hết ta cần 3 bổ đề
Bổ đề 1 :Cho tam giác $ABC.P $ là 1 điểm tùy ý trong tam giác $A_1B_1C_1 $ là tam giác Pedal của $P.F $ là điểm $\textbf {Fontene} $ của $P $.Trên đường cao hạ từ $A $ lấy điểm $Q $ sao cho $AQ = PA_1 $ thì khi đó đường tròn đường kính $QA_1 $ đi qua $F $
Chứng minh
+Gọi $A_2;B_2;C_2 $ lần lượt là trung điểm của $BC;CA;AB $
+Ta có qua phép đối xứng trục $B_2C_2 : (AP) \mapsto (QA_1) $.Đặt $U;V \equiv (AP) \cap (QA_1) \Rightarrow B_2;C_2;U;V $ thẳng hàng.$L \equiv B_2C_2 \cap B_1C_2 $ theo định lý $\textbf {Fontene} $ thì $L;F;A_1 $ thẳng hàng
+Tới đây ta nhận được $\overline{LU}.\overline{LV} = \overline{LC_1}.\overline{LB_1} = \overline{LF}.\overline{LA_1} $.Hoàn tất bổ đề

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]

Bổ đề 2:Gọi $P' $ là điểm đẳng giác liên hợp của $P.A_3B_3C_3 $ là tam giác Pedal của $P' $ thì đường thẳng simson của $F $ đối với tam giác $A_3B_3C_3 $ song song với $OP $
*Sẽ post cách chứng minh bổ đề này sau

Bổ đề 3:Cho $\triangle ABC $ nội tiếp $(O).E;F $ là 2 điểm thuộc $(O) $ thì góc giữa 2 đường thẳng $\textbf{Simson} $ của $E;F $ đối với $\triangle ABC $ bằng nửa số đo cung $EF $
TRỞ LẠI VỚI BÀI TOÁN:
+Gọi $ \triangle A_2B_2C_2 $ là tam giác Pedal của $P $
+Đường thẳng vuông góc với $XM $ tại $X $ cắt $BC $ tại $R.J $ là xuyên tâm đối của $A_1 $ trong đường tròn Pedal.Theo bổ đề 2 thì $PJ = QA_1 \Rightarrow JM = constant $ và $\triangle JXM \sim \triangle RXA_1 \Rightarrow \dfrac {RA_1}{JM} = \dfrac {XA_1}{JX} = tan{\widehat{XJA_1}} $
+Ta sẽ chứng minh góc $\widehat{XJA_1} = constant(*) $ Số đo cung $XA_1 $ gấp đôi góc giữa đường thẳng Simson của $X;A_1 $ đối với $\triangle A_2B_2C_2 $ (Bổ đề 3).Mặt khác thì theo bổ đề 2 $OQ $ song song với đường thẳng Simson của $X $ đối với $\triangle A_2B_2C_2 $(Ta gọi đường thẳng này là $d $).Vậy để chứng minh $(*) $ ta sẽ chứng minh $(d;OQ) =constant $ hay nói cách khác là chứng minh $(d;BC) =constant(**) $
+Ta có $(d;BC) = \widehat{C_2A_2B_2} + 2 \widehat{B_2A_2A_1} - \dfrac{\pi}{2} = \widehat{QBC} + \widehat{QCB} +\dfrac {\pi}{2} - 2\widehat{QCB} = constant $.Tới đây ta nhận được $(**) $.Vậy $R $ cố định.đpcm
[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]

đề bài rất hay phải áp dụng nhiều kiến thức mới giải ra