Bài tích phân trong đề thi minh hoạ
 

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[0;\,1]$ thoả mãn $\displaystyle{f\left( 1 \right) = 0,\;\int\limits_0^1 {{{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}} dx = 7}$ và $\displaystyle{\int\limits_0^1 {x^2f\left( x \right)dx }= \frac{1}{3}}.$
Tính $\displaystyle{I=\int\limits_0^1 {f(x)dx}}.$

Ta có\[\frac{1}{3} = \int\limits_0^1 {{x^2}f\left( x \right)} dx = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} d\frac{{{x^3}}}{3} = \left( {\frac{1}{3}{x^3}f\left( x \right)} \right)\left| \begin{array}{l}
1\\
0
\end{array} \right. - \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {{x^3}f'\left( x \right)} dx.\]
Vậy nên theo Cauchy-Schwarz ta có
\[7 =7 {\left( {\int\limits_0^1 {{x^3}f'\left( x \right)} dx} \right)^2} \le 7\int\limits_0^1 {{{\left( {{x^3}} \right)}^2}} dx.\int\limits_0^1 {{{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}} dx = \int\limits_0^1 {{{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}} dx.\]
Dấu bằng xảy đến khi và chỉ khi $f'(x)=kx^3$, kết hợp $f(1)=0$ để có\[f\left( x \right) = \frac{7}{4}\left( {1 - {x^4}} \right)\quad\forall\,x\in\mathbb R.\]
Từ đó mà có được $I=\dfrac{7}{5}.$