Đề thi HMO vừa qua (đã dịch)
 

Đề thi hình như có trục trặc nhỏ nên đã được thu lại sau khi thi,đây chỉ là bản dịch theo ý chính,nếu có sai sót mong mọi người bỏ qua:X_XX_X

1) Có bao nhiêu số nguyên dương n thuộc [2000,2010] sao cho:
$2^{2n} $+$2^n $+7 chia hêt cho 7

2) Tìm 5 chữ số tận cùng của $5^{2010} $

3) Có bao nhiêu số thực a thuộc (1,9) thỏa a-(1\a) là 1 số nguyên

4) Mỗi ô trên bảng 2*2 đuợc tô bởi 2 màu đen hoặc trắng.Hỏi có bao nhiêu cách tô màu khác nhau??

5) Tìm tất cả các số nguyên dương a sao cho phương trình sau có 2 ngiệm nguyên tố:
2$x^2 $-210x+a=0

6) Cho a,b là 2 nghiệm pt: $x^2 $-px+q=0
c,d la 2 nghiệm pt: $x^2 $-rx+s=0
vơi p,q,r,s là các số thực thỏa mãn
2$\frac{abd+acd+bcd+abc}{p^2+q^2+s^2+r^2} $ là 1 số nguyên.HÃy xác định a,b,c,d

7) Cho P là tâm nội tiêp tam giac ABC. Đường thẳng qua P và vuông góc với CP cắt AC,BC lân lươt tại M,N.biêt PA=3;PB=4,tính $\frac{AM}{BN} $

8) Tìm n chính phương sao cho $n^3 $+2$n^2 $+2n+4 cũng là 1 số chính phương

9) Cho x,y nguyên dương thỏa mãn 3$x^2 $+x=4$y^2 $+y
CMR: (x-y) là 1 số chính phương

10) Cho x,y,z>0. Tìm max :

A=$\frac{x}{2x+y} $+$\frac{y}{2y+z} $+$\frac{z}{2z+x} $

Ta có $2A= 1- \frac{y}{2x+y} $+$1- \frac{z}{2y+z} $+$ 1-\frac{x}{2z+x} $
2A= $3-\frac{y^2}{2xy+y^2} $+$\frac{z^2}{2yz+z^2} $+$\frac{x^2}{2zx+x^2} $
=> 2A =< $3- \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2} $
=> A =< 1 =p~

anh ơi làm sao tìm 5 chữ số tận cùng của 5^2010 sao anh?E hok pk hướg làm!Khó chết lun áh

bạn tìm số dư của phép chia 5^2010 cho 10^5
------------------------------
đề này của lớp 10 phải không anh

Chính xác thì đây là kì thi của lớp 10 và lớp 8. đây là đề lớp 10
Đề thi không cần đòi hỏi suy nghĩ quá phức tạp hay kiến thức cao,nhưng phải dịch và trình bày bài giải bằng ENGLISH.
Bài cuối mình có cách đặt mẫu số của 3 phân thức lân luơt là a,b,c .biểu diễn x,y,z qua a,b,c .Từ đó dùng cauchy cũng ra kết quả

Chỉ có ngoài Hà Nội làm đề này thôi à

Không bạn ạ,1 số tỉnh ngoài bắc cũng tham gia như QN,Thái Bình,Phú Thọ,.....cả amstedam nữa

Thi trong bao lâu vậy bạn. Đề này chủ yếu là số học.

Thi trong 1 buổi sáng thôi bạn ạ,180p
Xong rùi chọn khoảng 40 bạn thi tiếp SMO,đây là cuộc thi do SINGAPORE mời tham gia (nói chung đây chỉ là kì thi giao hữu nho nhỏ nên không nổi tiếng mấy,và học sinh tham gia cũng không phải quá 'khủng" về toán,chủ yếu còn là năng lực TIẾNG ANH,....)
P\S;mấy bài số học cũng không phức tạp lắm nhỉ.=p~=p~

uhm, trường tớ cũng ko thấy động j đến kì thi này, chỉ thấy nói đến kì thi Mĩ mở rộng nhưng tớ vẫn chưa rõ về kì thi này lắm, ko biết có ai biết ko nhỉ.
Còn kì thi mà Sin mời tham gia như bạn nói ko fai là kì thi Sin mở rộng đấy chứ? Khó hiểu quá.
Bài tổ hợp tô màu ý: xoay lộn hình lại có đc tính là 1 trường hợp ko nhỉ?

Đúng,đây là kì thi Sin mở rộng.hihi.
Còn Mĩ mở rộng thì khác hẳn bạn ạ,thi Mĩ mở rộng hình như đi thi phải tốn khá nhiều kinh phí (kì thi này ko về tới QN nên mình ko dc rõ,chỉ nghe lõm bõm)X_X
Với bài tổ hợp thì bạn để ỷ rằng chỉ có 2 màu đen và trắng thôi,theo mình thì nên đếm theo từng góc cho đỡ rối bạn ạ(2*2thôi mà).hix(mình dốt tổ hợp lắm)T_TT_TT_T

uk. theo tớ được biết thì kì thi USA mở rộng nếu thi tại nước mình thì ko mất bn, còn sang trực tiếp Mĩ để thi thì mất 2000USD cơ.:hungry:
Còn bài tổ hợp, nếu xoay hình mà ko tính thì chỉ có 2 trường hợp thôi.

Mình chưa hiểu suy nghĩ của bạn lắm,hix,nhưng theo mình nếu làm thế này thì sẽ đủ các trường hợp;
gọi các ô từ trái sang phải,từ trên xuống dưới là 1,2,3,4
ô 1 có 2 cách tô,ô 2 có 2 cách,ô 3,4,cũng thế.vậy có 16 cách tô (đề bài có yêu cầu phải tô xen kẽ caro đâu nhỉ,cả bảng màu đen cũng dc tính màX_X)
P\s;mình dốt tổ hợp lắm,nếu có sai sót mong các cao thủ hạ cố chỉ giáo giùm:-<

Oái. mình nhầm. cứ hay cẩu thả thế đấy. đọc kiểu j lại thành tô 2 ô màu đen, trắng. X_X X_X X_X
Nếu thế thì số cách tô là 5 thôi.

6 cách thôi bạn ạ :) vì khi xoay hình thì mấy cách trong 16 cách trùng nhau, câu này đếm cũng ra