Bài tập về nhóm
 

Cho $N$ là nhóm con chuẩn tắc của $M/N$. Chứng minh rằng $A$ là nhóm con của $M/N$ khi và chỉ khi $A=P/N$ với $P$ là nhóm con của $M$ và $P$ chứa $N$.

Vì $N$ là nhóm con chuẩn tắc của $M/N$ nên $(aN)(N)(a^{-1}N)=N$ $\forall a\in M$. Suy ra $aNa^{-1}\subset N$ $\forall a\in M$ nên $N$ là một nhóm con chuẩn tắc của $M$.

Ta xét $P=\left\{x\in M|xN\in A\right\}$. Do $A$ là nhóm con của $M/N$ nên nếu $xN\in A$ thì $x^{-1}N\in A$. Suy ra nếu $x\in P$ thì $x^{-1}\in P$. Nếu $xN\in A$, $yN\in A$ thì $(xN)(yN)\in A$ hay $xyN\in A$. Do đó nếu $x\in P$, $y\in P$ thì $xy\in P$. Như vậy $P$ đóng với phép lấy nghịch đảo và phép hợp thành, suy ra $P$ là một nhóm con của $M$. Mặt khác, với mọi $x\in N$ thì $xN=N\in A$ nên $x\in P$. Suy ra $N\subset P$, và $N$ là nhóm con chuẩn tắc của $P$ do $N$ là nhóm con chuẩn tắc của $M$. Dễ dàng kiểm tra được rằng $P/N=A$.

Chiều ngược lại tương tự.

Giả thiết $N$ là nhóm con chuẩn tắc của $M/N$ có lẽ không ổn, vì không có định nghĩa nhóm thương đối với $N$ không phải nhóm con chuẩn tắc của $M$, còn nếu $M/N$ là một nhóm thì $N$ là phần tử đơn vị của $M/N$ nên nó hiển nhiên là nhóm con chuẩn tắc của $M/N$.