|
[VMO 2013] Bài 1 - Hệ phương trình [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] |
Giải hệ phương trình sau: $$\left\{ \begin{align} & \sqrt{{{\sin }^{2}}x+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}}+\sqrt{{{\cos }^{2}}y+\frac{1}{{{\cos }^{2}}y}}=\sqrt{\frac{20y}{x+y}} \\ & \sqrt{{{\sin }^{2}}y+\frac{1}{{{\sin }^{2}}y}}+\sqrt{{{\cos }^{2}}x+\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}}=\sqrt{\frac{20x}{x+y}} \\ \end{align} \right.$$ |
Bài này chỉ cần chứng minh $(VT_1)^2 + (VT_2)^2 \ge 20$ (*) là xong. Trước hết, ta cần phải đặt điều kiện xác định đầy đủ cho PT. Chú ý rằng $\frac{1}{\sin ^2 x} + \frac{1}{\cos ^2 x} \ge 4$ với mọi $x \neq 0$. Khi đó, $(VT_1)^2+(VT_2)^2 \ge 10 + 2 \sqrt{(\sin ^2 x+ \sin ^{-2} x) (\cos^2 y+ \cos ^{-2} y)} + 2 \sqrt{(\sin ^2 y+ \sin ^{-2} y) (\cos ^2 x+ \cos^{-2} x)}$ Ta chứng minh được rằng $\sqrt{(\sin ^2 x+ \sin ^{-2} x) (\cos^2 y+ \cos ^{-2} y)} + \sqrt{(\sin ^2 y+ \sin ^{-2} y) (\cos ^2 x+ \cos^{-2} x)} \ge 5$ với mọi $x \neq 0$ bằng cách dùng bất đẳng thức AM-GM trực tiếp và chú ý rằng $(\sin ^2 x+ \sin ^{-2} x)(\cos ^2 x+ \cos^{-2} x) \ge \frac{25}{4}$.Chứng minh như sau: Ta có $(\sin ^2 x+ \sin ^{-2} x)(\cos ^2 x+ \cos^{-2} x) = \sin ^2 x \cos ^2 x + \tan^2 x + \cot ^2 x +\frac{1}{\sin ^2 x \cos ^2 x}$ $\ge 2 + \frac{\sin ^2 2x}{4} + \frac{1}{4 \sin ^2 2x} + \frac{15}{4 \sin ^2 2x} \ge 2+\frac{2}{4}+\frac{15}{4} = \frac{25}{4}$. Từ đó suy ra (*) đúng. Tuy nhiên, theo đề bài thì đẳng thức phải xảy ra nên gắn điều kiện vào, ta phải có $\tan x = \tan y= \pm 1$ và $x=y$. |
Trích:
Xét $x \geq 0$ thì $y \geq 0$ Cộng 2 vế của hệ lại ta được: $VT=\sqrt{\frac{20x}{x+y}}+\sqrt{\frac{20y}{x+y}} \leq \frac{\sqrt{20}\sqrt{2(x+y)}}{\sqrt{x+y}}=\sqrt{40 }$ Áp dụng Mincopski ta có:$\sqrt{sin^2x+ \frac{1}{sin^2x}}+\sqrt{cos^2x+\frac{1}{cos^2x}} \geq \sqrt{(sinx+cosx)^2+(\frac{1}{sinx}+\frac{1}{cosx} )^2}\geq \sqrt{(sinx+cosx)^2+\frac{4}{(sinx+cosx)^2}+\frac{ 12}{(sinx+cosx)^2}}\geq \sqrt{2\sqrt{4}+\frac{12}{2(sin^2x+cos^2x)}}=\sqrt {10}$ Chứng minh tương tự:$\sqrt{sin^2y+\frac{1}{sin^2y}}+\sqrt{\frac{1 }{cos^2y}+cos^2y} \geq 2\sqrt{2}$.Vậy $VT \geq 2\sqrt{10}=\sqrt{40}$ Vậy dấu "=" phải xảy ra hay....Ý tưởng là đây,còn lai quá dễ. Xét $x <0$ thì $y<0$. Vậy xử lí đoạn $VT=\sqrt{\frac{20x}{x+y}}+\sqrt{\frac{20y}{x+y}}\ leq \frac{\sqrt{20}\sqrt{2(x+y)}}{\sqrt{x+y}}=\sqrt{40 }$ cũng tương tự "=" cách đổi lại thành $-x,-y$.Nó chỉ khác nhau ở chỗ này. |
Cộng theo vế ta có $\left( \sqrt { { sin }^{ 2 }x+\frac { 1 }{ { sin }^{ 2 }x } } +\sqrt { { cos }^{ 2 }x+\frac { 1 }{ { cos }^{ 2 }x } } \right) +\left( \sqrt { { sin }^{ 2 }y+\frac { 1 }{ { sin }^{ 2 }y } } +\sqrt { { cos }^{ 2 }y+\frac { 1 }{ { cos }^{ 2 }y } } \right) =\sqrt { \frac { 20x }{ x+y } } +\sqrt { \frac { 20y }{ x+y } } $ áp dụng min-copxki: $\sqrt { { sin }^{ 2 }x+\frac { 1 }{ { sin }^{ 2 }x } } +\sqrt { { cos }^{ 2 }x+\frac { 1 }{ { cos }^{ 2 }x } } \ge \sqrt { { (\left| sinx \right| +\left| cosx \right| ) }^{ 2 }+{ \left( \left| \frac { 1 }{ sinx } \right| +\left| \frac { 1 }{ cosx } \right| \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 1+\left| sin2x \right| +\frac { 4(1+\left| sin2x \right| ) }{ { (sin2x) }^{ 2 } } } \ge $ $\sqrt { 1+\left| sin2x \right| +\frac { 4(1+\left| sin2x \right| ) }{ \left| sin2x \right| } } =\sqrt { 5+(\left| sin2x \right| +\left| \frac { 1 }{ sin2x } \right| )+\left| \frac { 3 }{ sin2x } \right| } \ge \sqrt { 5+2+3 } =\sqrt { 10 } $ Tương tự $\sqrt { { sin }^{ 2 }y+\frac { 1 }{ { sin }^{ 2 }y } } +\sqrt { { cos }^{ 2 }y+\frac { 1 }{ { cos }^{ 2 }y } } \ge \sqrt { 10 } $ -> $VT\ge 2\sqrt { 10 } $ Mặt khác ap dụng bunhia cho VP ta có $VP\le 2\sqrt { 10 } $ (coi ${ sin }^{ 2 }x={ \left| sinx \right| }^{ 2 } $ ... ) |
Trích:
|
Trích:
|
Cho mình hỏi nhận cả nghiệm x,y âm lẩn dương đúng không các bạn:sad::bihiem::matrix::(b-) |
Trích:
|
Đúng là bạn High high có nhầm ở BĐT phía sau câu "Áp dụng, ta có..." nên lời giải chưa đúng. Nghiệm của bài này là $x=y=\frac{\pi}{4} + k \frac{\pi}{2}$ với $k \in \mathbb{Z}$. |
Trích:
|
Trích:
|
Trích:
Một lời giải đầy đủ cho bài toán này. Điều kiện $ \sin 2x\sin 2y \neq 0,\ \dfrac{x}{x+y}>0,\ \dfrac{y}{x+y}>0.$ Nhân theo vế hai phương trình ta thu được $$ \left(\sqrt{\sin^2x+\dfrac{1}{\sin^2x}}+\sqrt{\cos ^2y+\dfrac{1}{\cos^2y}}\right)\left(\sqrt{\sin^2y+ \dfrac{1}{\sin^2y}}+\sqrt{\cos^2x+\dfrac{1}{\cos^2 x}}\right)=20\sqrt{\dfrac{xy}{(x+y)^2}} \quad (1) $$ Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và AM-GM ta có $$ \begin{aligned} \left(\sin^2x + \dfrac{1}{\sin^2x}\right)\left(\cos^2x + \dfrac{1}{\cos^2x}\right) \ & \geq \left(|\sin x\cos x|+\dfrac{1}{|\sin x\cos x|}\right)^2 \\ & =\left(\dfrac{|\sin 2x|}{2}+\dfrac{1}{2|\sin 2x|}+\dfrac{3}{2|\sin 2x|}\right)^2 \\ & \geq \left( 1+\dfrac{3}{2}\right)^2=\left(\dfrac{5}{2}\right)^ 2.\end{aligned}$$ Hoàn toàn tương tự $$ \left(\sin^2y + \dfrac{1}{\sin^2y}\right)\left(\cos^2y + \dfrac{1}{\cos^2y}\right) \geq \left(\dfrac{5}{2}\right)^2.$$ Do đó theo bất đẳng thức AM-GM $$ \begin{aligned} VT(1) \ & \geq 4\sqrt[4]{\left(\sin^2x + \dfrac{1}{\sin^2x}\right)\left(\cos^2x + \dfrac{1}{\cos^2x}\right)\left(\sin^2y + \dfrac{1}{\sin^2y}\right)\left(\cos^2y + \dfrac{1}{\cos^2y}\right)} \\ & \geq 4 \sqrt[4]{\left(\dfrac{5}{2}\right)^4}=10 \geq 20\sqrt{\dfrac{xy}{(x+y)^2}}= VP(1). \end{aligned}$$ Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow |\sin 2x|=1 , x=y \Leftrightarrow x=y=\pm \dfrac{\pi}{4}+k\pi,\ (k \in \mathbf{Z}) .$ Đó là nghiệm của hệ phương trình. |
Trích:
|
Trích:
|
| Múi giờ GMT. Hiện tại là 08:08 PM. |
Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.