Hai công thức đẹp nhất về thể tích tứ diện
 

Hồi còn học THPT, thầy mình từng nói là trong hình học không gian, hai công thức đẹp nhất về thể tích tứ diện chính là:
(1) Công thức tính thể tích tứ diện theo các cạnh (có thể hiểu là công thức Heron cho tứ diện), tức là cho trước độ dài 6 cạnh của một tứ diện, tính thể tích tứ diện theo 6 cạnh đó.
(2) Công thức Crelle: S = 6VR, trong đó V là thể tích tứ diện, R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện và S là diện tích tam giác có các cạnh là tích các cặp cạnh đối diện.

Về c/m công thức thứ (2), mình tìm được cách chứng minh trong rất nhiều tài liệu như "Các bài toán về HHKG" của Praxolov, "Ẩn sau định lí Ptoleme" của PGS.TS. Lê Quốc Hán,...trong đề thi Olympic 30-4 cũng có sự xuất hiện của nó nữa.
Nhưng công thức thứ (1) thì quả là hiếm thật, một biểu thức dưới dấu căn dài đến hai dòng, sự đối xứng giữa các cạnh chéo nhau và giữa các cạnh kề nhau làm cho biểu thức thật đẹp. Mình đã từng chứng minh được nó bằng một ý tưởng rất đơn giản ( tính diện tích một mặt đáy, tính độ dài đường cao tương ứng bằng công thức vectơ) nhưng biến đổi dài đến 2 trang giấy! Mình nghĩ biểu thức đẹp như thế thì cũng phải có một lời giải đẹp hay ít ra là phải có một lời giải tương đối đơn giản cho nó.

Mong được các bạn giúp đỡ! :d

Công thức đó là như thế nào anh có thể nói ra được hem ;))

À, công thức này cụ thể như sau:
[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]

$V=\frac{1}{12} \sqrt{AB^2.CD^2(AC^2+AD^2+BC^2+BD^2-AB^2-CD^2)+} \\ \sqrt{+AC^2.BD^2(AB^2+BC^2+CD^2+DA^2-AC^2-BD^2)+} \\ \sqrt{+AD^2.BC^2(AB^2+BD^2+CD^2+AC^2-AD^2-BC^2)} \\ \sqrt{-(AB^2.BC^2.CA^2+AD^2.DC^2.CA^2+AB^2.BD^2.DA^2+BC^2 .CD^2.DB^2)} $

Công thức này có thể chứng minh theo hướng mình đã nêu ở trên hoặc có thể dựa vào công thức Crelle.
Mong rằng đọc công thức này, các bạn có thể hiểu quy luật của biểu thức (chú ý rằng không có tích nào chứa cả 3 cạnh xuất phát từ cùng một đỉnh).
Trong trường hợp tứ diện đều hoặc gần đều, các bạn hoàn toàn có thể tính đúng đắn của biểu thức. :d

bạn có thể xem lại công thức này được không? hình như là có một chỗ sai...:S

Ủa, mình dò kĩ lắm rồi mà, sai ở chỗ nào bạn chỉ giúp với! À, ở đây chú ý là dấu căn là của cả 4 dòng luôn, do biểu thức quá dài nên phải chia ra như thế cho dễ xem.

Em chỉ mới biết cm trong trường hợp tứ diện gần đều àh :D
Cho tứ diện SABC có $SA=BC=a, SB=CA=b, SC=AB=c $. Chứng minh ${{V}_{SABC}}=\frac{1}{12}\sqrt{2({{a}^{2}}+{{b}^{2 }}-{{c}^{2}})({{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}})({{c}^{2}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}})} $

Xem thêm bài viết mình tổng hợp ở đây: [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]