Thảo luận về "60 bài hệ phương trình"
 

Trong các tài liệu mà anh huynhcongbang đã cho TrauBo thấy có 1 file rất hay đó là hephuongtrinh.pdf là tuyển tập 60 bài hệ phương trình. TrauBo đã nghiên cứu một thời gian và thấy những bài trong đó được tuyển chọn khá kĩ, theo từng chuyên đề, nhưng chỉ ghi đáp án chứ không ghi ý tưởng nên nhiều bài cũng không biết vì sao ra được như vậy.

Vì vậy, để tạo không khí sôi nổi cho chuyên đề phương trình - hệ phương trình Mathscope, TrauBo xin phép lập topic này. TrauBo sẽ lần lượt lập từng chủ đề để mọi người thảo luận, mục tiêu chính là khai thác triệt để tài liệu trên.

Vào topic này, các bạn có thể:
_ Đưa ra câu hỏi về PP làm bài (nhớ in đậm câu hỏi)
_ Đưa ra ý kiến về phương pháp làm bài, tại sao lại nghĩ tới hướng đó, đưa ra mở rộng, chia sẻ bài tập tương tự, ...
_ Nếu thấy bài nào hay các bạn cứ tự nhiên đưa vào chuyên đề mình đang viết. Để tránh trùng lặp bạn nào lấy bài thì nhớ ghi "Mình xin lấy bài ... vào chuyên đề ... của mình".
_ Topic này được lập ra vì nhiều mục đích, do đó mong các bạn thảo luận trên tinh thần chia sẻ, học hỏi và không spam.

Xin cảm ơn các bạn. File đính kèm ở bên dưới :gach:


--------------------------------------------------------------------------
Chúng ta đến với


Hệ số bất định là nguồn gốc cho nhiều lời giải đẹp trong các bài phương trình - hệ phương trình. Qua những bài tập trong file, chúng ta sẽ nghiên cứu kĩ hơn về PP này.

** Bài 1, 2, 3, 11:


** Bài 4, 14:


** Bài 5, 6:


Thật ra TrauBo đã tìm ra một số hướng đi khác cho những bài trên. Cụ thể như sau:

** Bài $4, 5, 6$:


** Bài 5, 6:


Trên đây là những câu hỏi và giải pháp mà TrauBo đã nghiên cứu trong thời gian qua. Xin các bạn góp ý thêm:burnjosstick:

Cái đó hình như là tuyển tập 60 hệ của math.vn phải ko???

Lấy ở đâu chả được bạn à? :-h. Quan trọng là có biết khai thác nó không. Ý tưởng của bác TrauBo khá hay đấy nhưng mình vẫn chưa tìm ra hướng đi nào cả:-S
Cho tớ hỏi là cái xét delta có khả thi trong nhiều bài không nhỉ? Nhìn qua thì nó sẽ dẫn tới giải một phương trình nghiệm nguyên kiểu như $$ax^2+bx=cy^2$$
Bài 5 và 6 khá đặc biệt vì $c<0$ nhưng tổng quát thì chưa biết sao
[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]
Có gì mọi người qua đây nhé thảo luận cái PT nghiệm nguyên ở đây coi chừng bị coi là spam:))

Ừ mình cũng thấy chán chả biết anh tài của Mathscope đi đâu hết:barrywhite:. Chủ đề hay thế mà không vào:buc:
Thôi thì đôi ta tự sướng với nhau vậy:lolz2:

À ở bài 4,5,6 bạn hỏi có tồn tại phép đặt $\begin{cases} x=au+bv \\ y=cu+dv \end{cases} $ để từ $mx^3+nxy^2$ khử hết $xy^2$ giống trong bài kia là $x^3+3xy^2$, thì mình cũng suy nghĩ và thấy cách đặt này không ổn lắmb-).
Cho $m=n=1$ ta có $x^3+xy^2$
Đặt ẩn phụ như trên thì:
$$\begin{cases} x^3=a^3u^3+3a^2b(u^2v)+3ab^2(uv^2)+b^3v^3 \\ xy^2=ac^2.u^3+(2acd+bc^2).u^2v+(ad^2+2bcd).uv^2+bd ^2.v^3 \end{cases}$$
Để khử được $u^2v ; uv^2$ ta cần có:
$$\begin{cases} ac^2=a^3\ (1) \\ 2acd+bc^2=-3a^2b\ (2) \\ ad^2+2bcd=-3ab^2\ (3) \\ b^3=bd^2\ (4) \end{cases}$$
Từ (1) và (4) có $\begin{cases} a= \pm c \\ b = \pm d \end{cases}$
Thử cả 4 trường hợp vào (2) đều không thoả:matrix:

Mình nghĩ chắc chỉ có thể nói là: Không phải hệ nào cũng giải bằng HSBĐ được :matrix:
Nhưng mình sẽ tiếp tục nghiên cứu :gach:. Khoái cái này rồi :gach:

TrauBo thấy muốn khử $uv^2, u^2v$ thì chỉ cần (2) và (3) thôi chứ đâu cần (1) và (4). Hình như bạn đang đồng nhất hệ số trong khai triển $x^3$ và $xy^2$ rồi :-h

Không có phương pháp nào giải được tất cả bài tập cả.
Đây chắc chắn là kết luận cuối cùng rồi bạn, có điều nó không "chặt", không phải điều mà TrauBo muốn tìm:burnjosstick:.
Cũng giống như mệnh đề "Với $k \ge 100$ thì $x^2+y^2 \ge kxy$ không luôn đúng" là chuẩn, nhưng không chặt. Ta lại phải đặt ra câu hỏi "Vậy đâu là số k lớn nhất để $x^2 +y^2 \ge kxy$ luôn đúng?". Sau này nhờ Cauchy ta biết đó là $k=2$ :nosebleed:.

Ở đây cũng vậy, cái mà TrauBo tìm chính là "phương pháp HSBĐ có thể giải được bao nhiêu (dạng) hệ PT?" :feelgood:
Mong tiếp tục được thảo luận cùng bạn:feelgood:

Chà các bác thảo luận hăng quá nhỉ?:go:
Tớ cũng khoái cái HSBĐ lắm mà biết gì bác TrauBo nói hết rồi :buc:
Thôi góp 1 BT nho nhỏ vậy bạn nào đưa vô chuyên đề nè :angach:

Giải phương trình $$21x-25+2\sqrt{x+2}=19\sqrt{x^2-x-2}+\sqrt{x+1}$$

Ui, trong hệ phương trình cái trò có khi nhân (1) với $\alpha $, (2) với $\beta $ khi thì cả hai phương trình là mình bịa đấy, cơ mà nhiều anh thấy cái này đành liền chế ra nhiều phương trình để ra đề thi cho học sinh trong đó có phương trình lượng giác.:-w
------------------------------
Không ngờ có người lại khai thác sâu vào cái này, khi thấy số mũ của x,y rồi xy đổ theo "dốc hằng đẳng thức" thì nghĩ ngay đến mẹo vặt này thôi.
------------------------------
Bun cái $21x-25=21x+21-46 $ và $x^2-x-2=(x+1)(x-2) $ biết thế thôi nhỉ!

Người ra đề đã phát triển đề thì ta cũng phải phát triển lời giải mới tank lại được chứ bạn B-)
Bạn có thể giải thích thêm về khái niệm "số mũ đổ dốc hằng đẳng thức"? Dạng tổng quát của nó là gì? Và có tồn tại cách đặt ẩn phụ $\begin{cases} x=au+bv \\ y=cu+dv \end{cases} không?

oh, đã là vặt vãnh thì làm gì có dạng tổng quát. $x^4,x^3,x^2,x $
tương tự đối với y, rồi là $x^3,y^3,x^2y;xy^2 $.. "đổ dốc" của hằng đẳng thức đó thây.
Còn khi đặt câu hỏi có tồn tại cách đặt ẩn phụ cho $\begin{cases} x=au+bv \\ y=cu+dv \end{cases} $ là bạn đã có sẵn câu trả lời trong đầu rồi đó.
P/S: Có phải hôm nọ chú gọi cho anh không đó.

Mình xin trình bày suy nghĩ của mình:
Bài 4:
$$\begin{cases}x^2+y^2=\dfrac{1}{5}\\ 4x^2+3x-\dfrac{57}{25}=-y(3x+1)\end{cases}$$
Để đơn giản (mất dạng phân số) ta thay $x=\dfrac{a}{5}, y=\dfrac{b}{5}$. Khi đó hệ trở trành:$$\begin{cases}a^2+b^2-5=0\\ 4a^2+15a-57+3ab+5b=0\end{cases}$$
Bây giờ nhân phương trình (1) với $\alpha$ rồi cộng với phương trình (2), ta sẽ có phương trình:
$(4+\alpha)a^2+3(b+5)a+\alpha b^2+5b-5\alpha-57=0 (*)$
Xem đây là phương trình bậc 2 ẩn $a$ thì:
$\Delta_a=9(b+5)^2-4(4+\alpha)(\alpha b^2+5b-5\alpha-57)$

Mình phải tìm sao cho $\Delta_a$ chính phương. Khai triển rồi thu gọn $\Delta_a$ thành một tam thức bậc 2 theo $b$, tham số là $\alpha$. Mình tính được $\Delta_b$ theo $\alpha$ là:
$\Delta_b=16(20\alpha^4+388\alpha^3+2349\alpha^2+3 830\alpha -2552$
Thật ra không cần phải khai triển ra như vầy. Chỉ cần lập biểu thức $\Delta_b$ là được. :))
Khi đó giải phương trình $\Delta_b=0$, ta tìm được nghiệm $\alpha=\dfrac{1}{2}$. Việc giải phương trình này là đơn giản với máy tính bỏ túi.
Từ đó ta thay lại vào (*) là xong
------------------------------
Còn một cách thứ 2, đơn giản hơn theo mình là từ phương trình (2) tính $y$ theo $x$ rồi thay vào phương trình (1), khai triển, thu gọn sẽ ra được phương bậc 4 ẩn $x$. :Secretsmile:
Như vậy không cần phải chọn hệ số $\alpha$ gì hết và phát huy được khả năng dùng máy tính :nosebleed:.
Đó chỉ là suy nghĩ của mình, không biết các bạn nghĩ thế nào. Chứ mình nghĩ cho đề kiểu thế này giống bắt mình đoán ý người ra đề quá @_@
------------------------------
Mình nghĩ bài hệ sau có thể sử dụng phương pháp hệ số bất định.
$$\begin{cases}x^2+xy+y^2=(x-y)^4\\x^2-xy+y^2=x-y\end{cases}$$

$$\begin{cases}2x^2-xy+y^2+x-3y=0\\x^2+xy-3y^2=x-2y\end{cases}$$
Lời giải hệ (2) của mình sử dụng phương pháp hệ số bất định :cuoideu:. Các bạn xem thử nhé

Dựa vào tên nick và cách nói chuyện thì mình đoán LSG là thầy Lê Sỹ Giảng trường THPT Nguyễn Thị Bích Châu - Hà Tĩnh phải không nhỉ?


Cảm ơn bạn tanggo đã đưa ra một cách lí giải khác. Về ý tưởng thì cũng là đưa về xét $\triangle$. Có điều bài 5, 6 bạn làm vậy được vì 1 PT có bậc cao hơn. Còn ở bài 4 cách làm này không thật sự thuyết phục: cả 2 phương trình có bậc 2 thì làm sao biết nhân $\alpha$ vào phương trình nào? Nếu bạn nhân $\alpha$ vào (2) thì $\triangle$ sẽ rất cồng kềnh và $\alpha$ không phải số hữu tỉ đâu.
Ở bài này có thể lí giải rằng phương trình (1) nhìn đơn giản hơn nên nhân vào, nhưng ở 2 bài mà bạn đưa ra thì PT nào cũng như nhau.
Bạn suy nghĩ thêm nhé, à cái phương trình (2) của bài 4 bạn viết sai kìa, phải là
$$4a^2+15a-57+3ab+5b=0$$
mới đúng.

Vậy Trường đưa cách HSBĐ lên luôn cho đầy đủ nhé. Chờ mãi mới có thêm bài tập :[
Tuy nhiên 2 bài này... không cần thiết phải dùng HSBĐ :redeye:. Ta vẫn có cách giải đơn giản hơn như sau:

** Bài 1: $$\begin{cases}x^2+xy+y^2=(x-y)^4\\x^2-xy+y^2=x-y\end{cases}$$
Đặt $a=x+y;b=x-y$.
Ta có HPT: $$\begin{cases} 3a^2+b^2=4b^4\ (1) \\ a^2+3b^2=4b\ (2) \end{cases}$$
Từ (1) có $a^2=\dfrac{4b^4-b^2}{3}$
Thay vào (2) có $\dfrac{4b^4-b^2}{3}+3b^2=4b \Leftrightarrow b \in \{0 ; 1\}$ (đẹp như mơ)

Cách đặt ẩn phụ đưa về tổng tích là một PP rất hay, chúng ta sẽ nói đến kĩ hơn trong Chủ đề 2. Giờ cố xong cái Chủ đề 1 đã :gach:

** Bài 2: $$\begin{cases}2x^2-xy+y^2+x-3y=0\ (1)\\x^2+xy-3y^2=x-2y\ (2)\end{cases}$$
$(1)+(2):3x^2-2y^2-y=0 \Leftrightarrow x^2=\dfrac{2y^2+y}{3}$
Thay vào (1) ta có PT:
$$\dfrac{7}{3}y^2-y(\dfrac{7}{3}+x)+x=0$$
Có $\triangle=(\dfrac{7}{3}+x)^2-4.\dfrac{7}{3}.x=(\dfrac{7}{3}-x)^2$
Vậy là xong :gach:

Bài của bạn VinhPhucNK đưa lên là một bài rất hay, có nhiều điều để khai thác. TrauBo sẽ phân tích sau. Cảm ơn bạn:-h

File tuyển tập 60 bài trên cũng là file chưa hoàn chỉnh do tôi tổng hợp từ diễn đàn math.vn. (file gốc latex tôi vẫn giử). Nay các bạn có ý hoàn thiện sâu hơn về chuyên đề này thì tôi sẽ sẵn sàng chia sẻ file nguồn các câu mà các bạn cần.

Lời giải của mình như sau
$$\begin{cases}x^2+xy+y^2=(x-y)^4 (1)\\x^2-xy+y^2=x-y (2)\end{cases}$$
Để ý cả hai phương trình đều có nhân tử $(x-y)$ Vậy ta sẽ thêm bớt rồi cộng lại sao cho tạo được một phương trình có ẩn là $(x-y)$. Nhân phương trình (2) cho $a$ rồi cộng phương trình (1) ta được.
$(1+a)x^2+(1-a)xy+(1+a)y^2=(x-y)^4+a(x-y)$
Tới đây chọn sao cho biểu thức:
$(1+a)x^2+(1-a)xy+(1+a)y^2 =k(x-y)^2$. Ta tìm được $a=-3$.:feelgood:
Như vậy ta sẽ giải phương trình $-2(x-y)^2=(x-y)^4-3(x-y)$. Phương trình này không quá khó khăn :))
$$\begin{cases}2x^2-xy+y^2=-x+3y\\x^2+xy-3y^2=x-2y\end{cases}$$
Hệ này khá đơn giản do mỗi phương trình không có hệ số tự do. . Bằng nhận xét các hệ số, thử thay $ x=y$ vào mỗi phương trình ta sẽ có:
$$\begin{cases}2y^2-y^2+y^2=-y+3y (1)\\y^2+y^2-3y^2=y-2y (2)\end{cases}$$
Hai phương trình (1) và (2) là tương đương nhau. Như vậy hệ sẽ có một nghiệm là $x=y$. Từ đó ta có: nhân phương trình sau cho $a$ rồi cộng với phương trình đầu ta có:
$(2+a)x^2+(a-1)xy+(y-3a)y^2=(a-1)x+(3-2a)y$ (3)
Do hệ có nghiệm $x=y$ nên phương trình (3) sẽ tách được một nhân tử dạng $(x-y)$. Khi đó ta có: $a-1=-(3-2a)$ Từ đó ta được $a=2$. Tới đây (3) trở thành: $4x^2+xy-5y^2=x-y \Leftrightarrow (x-y)(4x+5y)=x-y$
Như thế ta đã giải quyết xong hệ.

Bạn mình có một cách thêm bớt rất hay, nhưng hình như dựa vào bản năng của nó. Mình cũng không chú ý lắm nên không nhớ
Ở đây mình còn một hệ nữa:
$$\begin{cases}x^2-4x+y^2-6y+9=0 (1)\\xy+x+2y-22=0 (2)\end{cases}$$
Mình giải bằng cách từ phương trình (2) tính $y$ theo $x$ rồi thay vào phương trình (1) ra phương trình bậc 4, bấm máy. Tuy nhiên bạn mình sử dụng một cách thêm bớt để đưa về một phương trình bậc 2 rất gọn. Mình nghĩ chắc do hên xui chứ thực sự nó chẳng biết đồng nhất hệ số là gì hết :nosebleed: . Các bạn cùng cho ý kiến nhé. Ở đây không chỉ là trình bày bài giải mà xin các bạn cho ý kiến tại sao lại làm vậy?

Được vậy thì tốt quá em cảm ơn thầy nhiều ạ :-h

Chúng ta tiếp tục thảo luận :nosebleed:

Cái này thì cũng không hẳn là do đề mà theo TrauBo là do lời giải "tà đạo" quá thôi. TrauBo bổ sung 1 tí thông tin:
Bài 4 có nhiều cách giải. Cách tự nhiên nhất là dùng phép thế đưa về PT bậc 4. Hệ số bậc 4 tuy lên tới 10000 nhưng PT có nghiệm hữu tỉ nên không khó. Bài này cũng còn một cách khá "khủng" như sau:



Như vậy rõ ràng đề không phải được chế một cách tự nhiên mà được chọn lọc kĩ, nếu không khó có thể tồn tại cách giải đẹp như trên được.

Bài 6 là của thầy Kiều Đình Minh, bài này thầy đặt ẩn phụ $2x=u+v;2y=u-v$ rồi đưa về hệ không có $uv$:
$$\begin{cases} u^3-v^3=35 \\ 3u^2+9u=-2v^2+4v \end{cases} $$
Đến đây làm như bài 1, 2, 3 ta nhân 3 vào PT (2), cộng với (1) để được $(u+3)^3=(v-2)^3$

Như vậy các bài trên đều có hướng đi riêng. Từ đó TrauBo đặt ra câu hỏi phải chăng lời giải bằng HSBĐ trong file là do biết trước nghiệm? Nếu vậy thì khó lòng tổng quát hoá phương pháp này.

TrauBo đã gửi tin nhắn tới anh Lữ và thầy Nam Dũng, hi vọng sẽ nhận được câu trả lời hay :feelgood:
Nếu thuận lợi chúng ta qua chủ đề tiếp theo luôn @_@