Biểu diễn tổng phần nguyên
 

Biểu diễn $\sum _{k=1}^n \left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor $ theo $n $ và $a=\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor $.

Em giải vắn tắt như sau:

Bổ đề: 1) Có $2k + 1 $ số nguyên dương $i $ thoả $[\sqrt{i}] = k $.
2) $\sum_{i = 1}^k i = \frac{k(k + 1)}{2} $ ; $\sum_{i = 1}^k i^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} $.

Từ bổ đề, cm đc: $\sum_{i=1}^{a^2 - 1} [\sqrt{i}] = \sum_{i=1}^{a - 1} i(2i + 1) = \frac{2a(a - 1)(2a - 1)}{6} + \frac{a(a - 1)}{2} = \frac{a(a - 1)(4a + 1)}{6} $.
Mặt khác, dễ cm: $\sum_{i = a^2}^{n} [\sqrt{i}] = a(n - a^2 + 1) $.
Suy ra: $\sum_{i = 1}^{n} [\sqrt{i}] = a\cdot n - \frac{a(a - 1)(2a + 5)}{6} $.