Bài toán về hàm hợp
 

Có tồn tại hay không hàm $f:\;\mathbb R^+\to\mathbb R$ thỏa\[\underbrace {f\left( {f\left( { \ldots f\left( x \right) \ldots } \right)} \right)}_{2008\;\text{lần}\;\text{hợp}} = 1 + \sqrt x + \sqrt[3]{x} + ... + \sqrt[{2018}]{x}\quad\forall\,x\in\mathbb R^+.\]

Giả sử tồn tại hàm ngược của $f$, từ đây suy ra $f(f^{-1}(x))=1$ với mọi $x>0$, hay $f^{-1}(x)>0$ với mọi $x>0$. Đặt $g(x)=\underbrace {f^{-1}\left( {f^{-1}\left( { \ldots f^{-1}\left( x \right) \ldots } \right)} \right)}_{2008\;\text{lần}\;\text{hợp}}$. Ở đẳng thức thay $x$ thành $g(x)$. Khi đó ta được
$$x=1+\sqrt {g(x)} + \sqrt[3]{g(x)} + ... + \sqrt[{2018}]{g(x)},\forall x>0.$$
Do với mỗi $x<1$ thì phương trình vô nghiệm. Vậy không tồn tại hàm ngược của $f$.