Xấp xỉ dãy với logariths
 

Cho dãy số $\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ thoả mãn $x_1=1$ và
$${x_{n + 1}} = x_n+e^{-x_n}\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+.$$
Chứng minh dãy $\left\{y_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ với $y_n=x_n-\ln n$ là dãy giảm và $\lim y_n=0$.

Từ bất đẳng thức quen thuộc $\ln (1+x)\le x\quad\forall\,x>-1$, ta có
\[{y_{n + 1}} - {y_n} = {e^{ - {x_n}}} - \ln \left( {1 - \frac{1}{{n + 1}}} \right) < {e^{ - {x_n}}} + \frac{1}{{n + 1}};\;(*).\]
Ta để ý $x_1=1>\ln 2$ và hàm $f(x)=x+e^{-x}$ tăng trên $\mathbb R^+$ đồng thời
\[{x_{n + 1}} - \ln \left( {n + 2} \right) = f\left( {{x_n}} \right) - f\left( {\ln \left( {n + 1} \right)} \right).\]
Cho nên nếu cứ có $x_n>\ln (n+1)$ sẽ kéo theo $x_{n+1}>\ln (n+2)$. Tức là ${x_n} > \ln \left( {n + 1} \right)\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+$, điều này kết hợp với $(*)$ cho ta $y_n$ giảm. Đồng thời $y_n>\ln (n+1)-\ln n>0$ nên $y_n$ hội tụ đến $L$, lại từ $(*)$ có
\[\left( {n + 1} \right)\left( {{y_{n + 1}} - {y_n}} \right) = {e^{ - {x_n}}} - \ln \left( {1 - \frac{1}{{n + 1}}} \right) = \frac{{n + 1}}{n}{e^{ - {y_n}}} + \left( {n + 1} \right)\ln \left( {1 - \frac{1}{{n + 1}}} \right).\]
Lấy giới hạn hai vế ta có được
\[\lim \left( {\left( {n + 1} \right)\left( {{y_{n + 1}} - {y_n}} \right)} \right) = {e^{ - L}} - 1.\]
Có $\lim \left( {\dfrac{{{y_n}}}{{\sum\limits_{k = 1}^n {\dfrac{1}{k}} }}} \right) =0$ do $\lim y_n=L$ và $\lim {\sum\limits_{k = 1}^n {\dfrac{1}{k}} }=+\infty$, nên theo Stolz-Césaro thì
\[0=\lim \left( {\frac{{{y_n}}}{{\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}} }}} \right) = {e^{ - L}} - 1.\]
Từ đây có $\lim y_n=0.$