Vết đường cong có diện tích bằng 0
 

Cho $C : [a,b] \to \mathbb{R}^2 $ là một đường đi đơn chính qui từng khúc. Khi đó, vết của $C $ có diện tích không.
- Khái niệm về vết của đường đi : tập hợp các điểm mà đường đi đã đi qua, nghĩa là tập ảnh $C([a,b]) $
- Định nghĩa đường đi đơn chính qui: không đi qua điểm nào 2 lần và chính qui nếu đường đi trơn trên $[a,b] $ và vận tốc $C'(t) $ luôn khác 0.

Không rõ Khoa đã làm được chưa? Nếu chưa làm được thì anh sẽ tìm cách gợi ý cho em, vì đây có vẻ là dạng sơ cấp của định lý rất khó : định lý Sard. Định lý Sard rất nên được đọc đầy đủ chứng minh khi còn đang học đại học. Nhờ bài tập này thì ta có thể tiếp cận chứng minh định lý đó dễ dàng hơn (hy vọng thế :D)

Vì $C $ trơn từng khúc trên nó gồm hữu hạn các đường đi trơn, bốc 1 đường đi trơn $C_1 $ bất kỳ trong đó ra, $C_1 : [a,a_1] \to \mathbb{R}^2 $, $a_1<b $. Đường đi đó gọi là trơn nếu $C_1 $ là hàm trơn trên $[a,a_1] $ hay $C_1 $ khả vi liên tục trên $[a,a_1] $. Khi đó, ảnh $C_1([a,a_1]) $ liên tục trên một miền đóng bị chặn trên $\mathbb{R} $, thì sẽ có thể tích không (diện tích không) trên $\mathbb{R}^2 $.
Em làm vậy cảm thấy không chắc chắn, nếu anh thấy không đúng thì anh gợi ý 1 số hướng khác cho em nhé. :)
Định lý Sard là gì em không biết nữa :|

Em chưa chứng minh được bài toán, vì cái ý em dùng to ngang bài toán của em. Lần sau ghi rõ hơn nhé, như thế mọi người trao đổi tiết kiệm thời gian và hiệu quả hơn. Bài này không khó, nhưng định lý Sard thì rất khó. Học đại học thì nên biết định lý ý.

Tạm gác lại đã : đầu tiên em xem lại định nghĩa diện tích 0.

Hai là em chứng minh rằng : nếu hình vuông có cạnh $a $ chứa một phần đường cong liên tục độ dài $l $ cắt ít nhất hai cạnh của đối diện của hình vuông, thì diện tích của hình vuông nhỏ hơn hoặc bằng $l^2 $.

Anh đi ăn cơm đã :D

Gợi ý trên vẫn hơi mù mờ : em chứng minh ý sau : nếu $f \colon [a,b]\to \mathbb{R}^2 $ là đường cong trơn lớp $C^1 $, không nhất thiết phải đơn, hay chính quy, có độ dài là $l $, thì ta có thể phủ nó = hình vuông có diện tích bé hơn hoặc bằng $l^2 $.

Sau đó ta chia nhỏ đường cong thành các đoạn có độ dài $l_i $, và phủ bởi các hình vuông có diện tích $l_i^2 $. Tổng các diện tích này sẽ tiến tới 0 khi ta chia ngày càng nhỏ đường cong đã cho.

Điều kiện chính quy là không cần thiết, cái ta cần là đường cong này trơn $C^1 $ để nó có tính Lipschitz địa phương và có độ dài.

Về định lý Sard : cho $f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $ là ánh xạ nhẵn (tức là lớp $C^{\infty} $), khi đó tập các giá trị tới hạn (critical value) của $f $ có độ đo 0.

Lưu ý : lớp $C^1 $ vẫn đúng nhưng chứng minh khó. Tập có độ đo 0 ta hiểu theo nghĩa : ta có thể phủ tập đó bởi các hình lập phương (trong $\mathbb{R}^m $) sao cho tổng thể tích của các hình lập phương đó nhỏ tùy ý. Điểm tới hạn, giá trị tới hạn em tìm trên wiki. Định lý này có rất rất nhiều ứng dụng, nên theo ý kiến của anh là nên cho sinh viên đại học biết về nó trong học phần giải tích cổ điển hoặc nâng cao, ít nhất ở dạng dễ nhất.