Problems on Cyclotomic Extensions
 

1, Determine all of the subfields of $\mathbb{Q}_{12} $.

2, Show that $\cos (\pi/9) $ is algebraic over $\mathbb{Q} $, and find $[\mathbb{Q}(\cos (\pi/9)):\mathbb{Q}] $.

3, Show that $\mathbb{Q}(\cos (2\pi/n)) $ is Galois over $\mathbb{Q} $ for any $n $. Is the same true for $\mathbb{Q}(\sin (2\pi/n)) $?

4, Show that $\cos (2\pi/n) $ and $\sin (2\pi/n) $ are algebraic over $\mathbb{Q} $ for any $n $.

Tập hợp A tất cả các số phức đại số trên Q là một trường, $\cos (2\pi/n)=\frac{\epsilon+\epsilon^{-1}}{2},\sin (2\pi/n)=\frac{\epsilon-\epsilon^{-1}}{2i} $ và $\epsilon=\cos (2\pi/n)+i\sin (2\pi/n) $ với i là đại số trên Q. Từ đây ta có điều cần chứng minh. Một câu hỏi là: Tìm bậc của hai số đó trên Q. :hornytoro:

5, If n is odd, prove that $\mathbb{Q}_{2n}=\mathbb{Q}_n $.

6, Let n,m be poisitive integers with d=gcd(m,n) and l=lcm(m,n).
a)If n divides m, prove that $\mathbb{Q}_n\subset\mathbb{Q}_m $.
b)Prove that $\mathbb{Q}_n\mathbb{Q}_m=\mathbb{Q}_l $.
c)Prove that $\mathbb{Q}_m\cap\mathbb{Q}_n=\mathbb{Q}_d $.

Vì n lẻ nên $\varphi (2n)=\varphi (n) $, do đó mà $[\mathbb{Q}_{2n}:\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}_n:\mathbb{Q}] $. Kết hợp với $\mathbb{Q}_{2n}\supset\mathbb{Q}_n $ ta có điều cần chứng minh.