Bổ đề Cantor
 

Bổ đề Cantor phát biểu rằng một không gian mêtric là đầy đủ khi và chỉ khi mọi dãy giảm các tập con đóng, khác rỗng và đường kính tiến về zero thì có giao khác rỗng.

Câu hỏi đặt ra là nếu thay giả thiết đường kính tiến về zero bởi dãy các đường kính bị chặn thì kết quả sẽ không đúng? Mình định tìm ra phản ví dụ mà nghĩ hoài chưa ra.:lolz2:

Giả sử không gian metric $X$ thỏa mãn mọi dãy giảm các tập con đóng, khác rỗng với đường kính bị chặn đều có giáo không rỗng. Thế thì nói riêng, khẳng định này cũng đúng với các dãy giảm có đường kính tiến về $0$. Theo bổ đề Cantor, $X$ là không gian đầy đủ. Tuy nhiên điều ngược lại quả nhiên là không đúng.

Bạn muốn tìm một không gian đầy đủ $X$ cùng với một dãy $U_i$ các tập con đóng, khác rỗng với đường kính bị chặn sao cho $\cap U_i=\emptyset$. Theo [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...], $U_i$ sẽ phải là các tập không compact. Đóng và bị chặn mà không compact, chắc có thể tìm một phản ví dụ trong các không gian Hilbert.

Thật vậy, đặt $U_i=\ell^2\cap\{\Vert x\Vert=1\}\cap \{x_1=\dots=x_i=0\}$. Thế thì $U_i$ là một dãy giảm các tập con đóng, khác rỗng, bị chặn với giao bằng rỗng.

(Bổ đề: $U_i$ là một tập cong đóng.
Chứng minh: $\{\Vert x\Vert=1\}$ là hình cầu đóng. $\{x_1=\dots=x_i=0\}\subset\mathrm{Span}(e_1,\dots ,e_i)^\perp$. Ngược lại, nếu $v\in\mathrm{Span}(e_1,\dots,e_i)^\perp$, $\langle v,e_i\rangle=0\implies x_i(v)=0$. Do đó $\{x_1=\dots=x_i=0\}=\mathrm{Span}(e_1,\dots,e_i)^ \perp$, là phần bù vuông góc của một không gian con, nên là đóng. $U_i$ là giao của hai tập đóng, nên cũng đóng.)